Congruent vs. Similaire
Deux Façons dont les Formes Peuvent Être Liées
En géométrie, deux figures peuvent être liées de deux façons importantes :
Congruent (≅) signifie que les figures ont la même forme ET la même taille. Chaque côté & chaque angle correspond exactement. Si vous découpiez l'une et la placiez sur l'autre, elles s'aligneraient parfaitement.
Similaire (~) signifie que les figures ont la même forme mais des tailles différentes. Tous leurs angles sont égaux, mais les côtés sont proportionnels : une figure est une version agrandie ou réduite de l'autre.
Pensez-y de cette façon : une photocopie à 100 % produit une copie congruente. Une photocopie à 150 % produit une copie similaire : même forme, plus grande taille.
Tests de Congruence des Triangles
Prouver que les Triangles Sont Congruents
Un triangle a 6 mesures : 3 côtés & 3 angles. Mais vous n'avez pas besoin de tous les 6 pour prouver que deux triangles sont congruents. Il existe des raccourcis :
SSS (Côté-Côté-Côté) : Si les trois côtés d'un triangle égalent les trois côtés d'un autre, les triangles sont congruents.
SAS (Côté-Angle-Côté) : Si deux côtés et l'angle inclus (l'angle entre ces deux côtés) sont égaux, les triangles sont congruents.
ASA (Angle-Côté-Angle) : Si deux angles et le côté inclus (le côté entre ces deux angles) sont égaux, les triangles sont congruents.
AAS (Angle-Angle-Côté) : Si deux angles et un côté non inclus sont égaux, les triangles sont congruents.
Notez que AAA n'est PAS un test de congruence : deux triangles peuvent avoir tous les mêmes angles mais être de tailles différentes. Cela les rend similaires, pas congruents.
Vérification de Congruence
Appliquer Ce Que Vous Savez
Deux triangles ont des côtés mesurant 5, 12 & 13 unités. Le deuxième triangle a également des côtés mesurant 5, 12 & 13 unités.
Quatre Transformations
Déplacer les Formes Sans les Casser
Une transformation est une règle qui déplace ou change chaque point d'une figure. Il existe quatre transformations fondamentales :
Translation (glissement) : Déplacez chaque point de la même distance dans la même direction. La forme ne tourne ni ne se renverse.
Rotation (tour) : Tournez la figure autour d'un point fixe (le centre de rotation) selon un angle donné.
Réflexion (retournement) : Retournez la figure sur une ligne (la ligne de réflexion), créant une image miroir.
Dilatation (mise à l'échelle) : Agrandissez ou réduisez la figure à partir d'un centre par un facteur d'échelle.
Les trois premiers : translation, rotation et réflexion : sont appelés mouvements rigides car ils préservent à la fois la forme et la taille. Le résultat est toujours congruent à l'original.
La dilatation change la taille mais préserve la forme. Le résultat est similaire à l'original.
Pratique de Réflexion
Réfléchir sur un Axe
Quand vous reflétez un point sur l'axe des y, la coordonnée x change de signe (positif devient négatif, ou vice versa) tandis que la coordonnée y reste la même.
Qu'est-ce qu'une Preuve ?
La Logique de la Géométrie
Une preuve géométrique est un argument logique qui montre pourquoi une déclaration doit être vraie. Il ne suffit pas de dire que quelque chose semble vrai : vous devez montrer pourquoi c'est vrai.
Chaque preuve suit une chaîne :
Donné (ce avec lequel vous commencez) → Déclaration (une affirmation) → Raison (pourquoi cette affirmation est vraie) → ... → Conclusion
Chaque raison doit être l'une de ces trois choses :
- Une définition (p. ex., 'un angle droit est de 90 degrés')
- Un postulat (une vérité fondamentale que nous acceptons sans preuve, p. ex., 'par deux points quelconques, il y a exactement une ligne')
- Un théorème (quelque chose déjà prouvé, p. ex., 'les angles verticaux sont égaux')
Les preuves sont l'épine dorsale de la géométrie. C'est ainsi que les mathématiciens ont construit des connaissances pendant plus de 2 000 ans, en commençant par les Éléments d'Euclide.
Lignes Parallèles et Angles
Un Fait Classique de la Géométrie
Quand deux lignes parallèles sont coupées par une transversale (une ligne qui traverse les deux), plusieurs relations d'angles sont créées.
L'une des plus importantes : les angles intérieurs alternés : les angles sur les côtés opposés de la transversale, entre les lignes parallèles.
SOH-CAH-TOA
Les Rapports à l'Intérieur des Triangles Rectangles
La trigonométrie commence par une observation simple : dans un triangle rectangle, si vous connaissez l'un des angles aigus, les rapports des côtés sont fixes : peu importe la taille du triangle.
Pour tout angle aigu θ dans un triangle rectangle :
Sinus (sin θ) = Opposé / Hypoténuse
Cosinus (cos θ) = Adjacent / Hypoténuse
Tangente (tan θ) = Opposé / Adjacent
Le mnémonique SOH-CAH-TOA vous aide à vous souvenir :
- Sinus = Opposé / Hypoténuse
- Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
- Tangente = Opposé / Adjacent
Ces rapports sont les mêmes pour TOUS les triangles rectangles similaires avec les mêmes angles. Un petit triangle 30-60-90 & un énorme triangle 30-60-90 ont les mêmes valeurs de sinus, cosinus, & tangente.
Utilisation du Sinus
Résoudre avec la Trigonométrie
Un triangle rectangle a un angle de 30°. Le côté opposé à l'angle de 30° est de 5 cm.
On vous donne que sin 30° = 0,5.
Où Vit la Géométrie
La Géométrie Est Partout
Les concepts que vous avez appris : congruence, similitude, transformations, preuves et trigonométrie : ne sont pas seulement des idées de classe. Ce sont des outils utilisés quotidiennement dans le monde réel :
Architecture : Les bâtiments utilisent des triangles pour la résistance structurelle. Un triangle est le seul polygone qui ne peut pas être déformé sans changer les longueurs des côtés. C'est pourquoi les fermes de toit, les ponts et les grues sont pleins de triangles.
Navigation : La triangulation utilise les angles de deux points connus pour trouver la position d'un troisième. C'est ainsi que les satellites GPS déterminent votre emplacement.
Infographie : Chaque modèle 3D dans un jeu vidéo ou un film est composé de milliers de minuscules triangles (maillages polygonaux). Les transformations (translation, rotation, mise à l'échelle) déplacent ces modèles autour de l'écran.
Sports : L'angle de réflexion d'une boule de billard sur un coussin égale son angle d'approche. Les quarterbacks calculent les angles de lancer. Les skateurs utilisent les angles de rampe.
Ingénierie : Les pièces mécaniques doivent s'adapter dans les tolérances mesurées en millièmes de pouce. Les preuves géométriques garantissent que les conceptions fonctionneront avant que quoi que ce soit soit construit.
Problème d'Échelle
Tout Mettre Ensemble
Une échelle s'appuie contre un mur. L'échelle touche le mur 12 pieds vers le haut. La base de l'échelle est 5 pieds du mur.
Le mur, le sol & l'échelle forment un triangle rectangle.