Quatre transformations

Déplacer les formes sans les briser

Une transformation est une règle qui déplace ou change chaque point d'une figure. Il existe quatre transformations fondamentales :

Translation (glissement): Déplacez chaque point dans la même direction et la même distance. La forme ne tourne pas ni ne se renverse.

Rotation (rotation): Faites tourner la figure autour d'un point fixe (le centre de rotation) selon un angle donné.

Réflexion (inversion): Inversez la figure autour d'une ligne (la ligne de réflexion), créant une image miroir.

Dilation (agrandissement): Agrandissez ou réduisez la figure à partir d'un point central par un facteur d'échelle.

Les trois premières : translation, rotation et réflexion, sont appelées mouvements rigides car elles conservent à la fois la forme et la taille. Le résultat est toujours congruent par rapport à l'original.

La dilation change de taille mais conserve la forme. Le résultat est similaire à l'original.

Exercice de réflexion

Réfléchir autour d'un axe

Lorsque vous réfléchissez un point autour de l'axe des y, la coordonnée x change de signe (positif devient négatif ou inversement) tandis que la coordonnée y reste la même.

Qu'est-ce qu'une preuve ?

La logique de la géométrie

Une preuve géométrique est un argument logique qui montre pourquoi une déclaration doit être vraie. Il ne suffit pas de dire que quelque chose a l'air vrai : vous devez montrer pourquoi c'est vrai.

Toute preuve suit une chaîne :

Donné (ce avec quoi vous commencez) → Énoncé (une affirmation) → Raison (pourquoi cette affirmation est vraie) → ... → Conclusion

Chaque raison doit être l'une des trois choses :

- Une définition (par exemple, 'un angle droit est de 90 degrés')

- Une postulate (une vérité de base que nous acceptons sans preuve, par exemple, 'entre deux points, il y a exactement une ligne')

- Un théorème (quelque chose qui a déjà été démontré, par exemple 'les angles adjacents sont égaux')

Les démonstrations sont la colonne vertébrale de la géométrie. C'est grâce à elles que les mathématiciens ont construit la connaissance pendant plus de 2 000 ans, en commençant par les Éléments d'Euclide.

Lignes parallèles et angles

Un fait de géométrie classique

Lorsque deux lignes parallèles sont tracées par une transversale (une ligne qui traverse les deux), plusieurs relations d'angles sont créées.

L'un des plus importants : les angles alternes intérieurs : les angles des deux côtés de la transversale, entre les lignes parallèles.

SOH-CAH-TOA

Les rapports à l'intérieur des triangles rectangles

La trigonométrie commence par une observation simple : dans un triangle rectangle, si vous connaissez un des angles aigus, les rapports des côtés sont fixés : peu importe combien le triangle est grand ou petit.

Pour tout angle aigu θ dans un triangle rectangle :

Sine (sin θ) = Adverse / Hypoténuse

Cosine (cos θ) = Adjacent / Hypoténuse

Tangent (tan θ) = Adverse / Adjacent

Le mnémonique SOH-CAH-TOA vous aide à vous souvenir :

- Sine = Opposite / Hypotenuse

- Cosine = Adjacent / Hypotenuse

- Tangent = Opposite / Adjacent

Ces rapports sont les mêmes pour TOUTES les triangles rectangles similaires ayant les mêmes angles. Un petit triangle 30-60-90 et un grand triangle 30-60-90 ont les mêmes valeurs de sine, de cosinus et de tangente.

Utiliser la sinus

Résoudre avec la trigonométrie

Un triangle rectangle a un angle de 30°. Le côté adverse de l'angle de 30° est de 5 cm.

Vous savez que sin 30° = 0,5.

Où la géométrie vit

La géométrie partout

Les concepts que vous avez appris : la congruence, la similarité, les transformations, les démonstrations et la trigonométrie : ce ne sont pas seulement des idées de salle de classe. Ce sont des outils utilisés tous les jours dans le monde réel :

Architecture : Les bâtiments utilisent des triangles pour leur résistance structurelle. Un triangle est le seul polygone qui ne peut être deformé sans modifier les longueurs des côtés. C'est pourquoi les poutres de toit, les ponts et les grues sont pleines de triangles.

Navigation : La triangulation utilise les angles provenant de deux points connus pour trouver la position d'un troisième. C'est ainsi que les satellites GPS déterminent votre localisation.

Graphismes sur ordinateur : Chaque modèle 3D dans un jeu vidéo ou un film est composé de milliers de petits triangles (maillages en polygones). Les transformations (translation, rotation, échelle) déplacent ces modèles autour de l'écran.

Sports : L'angle de la réflexion d'une bille de billard sur un coussin est égal à son angle d'approche. Les quarterbacks calculent les angles de lancer. Les skateboards utilisent les angles des rampes.

Génie : Les pièces mécaniques doivent entrer en prise dans des tolérances mesurées en milliersièmes de pouce. Les démonstrations géométriques garantissent que les conceptions fonctionneront avant que quoi que ce soit ne soit construit.

Problème de l'échelle

Mettre tout ensemble

Une échelle repose contre un mur. L'échelle touche le mur à 12 pieds. La base de l'échelle est à 5 pieds du mur.

Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle.