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ようこそ

今日は数学におけるすべての分野で最も古く、最も力強いアイデアの1つを探検します。

それは ピタゴラスの定理 と呼ばれており、2500年以上前に古代の建築家、航海者、工学者、そしてあなたの携帯電話のGPSまで様々な分野で使用されています。

この定理は、紀元前570年から495年に生きた ピタゴラス というギリシャの数学者にちなんで名付けられました。彼は数が宇宙の秘密言語であると信じる学者のコミュニティを率いていました。

しかし、ここに重要なことに注意してください。バビロニア人はピタゴラスが生まれる1000年以上前にすでにこの関係性を知っていました。紀元前1800年頃の粘土板 Plimpton 322 は、古代メソポタミア人が長い間このパターンを理解していたことを示しています。

このレッスンを終わらせると、当てはまる距離を特定、直角の正確性をチェック、そして日常生活に隠れた幾何学を見つけられるようになります。

ウォームアップ

価値がある問題

湖の片側に立って、もう一方の湖の向こう側に木を見つけます。テープメーターがありますが、泳がないことを確かめたいです。

湖を渡らなくても、湖の真ん中にいる距離を測りますか？創造的に考え、答えは一つではありません。

直角三角形の特徴は何ですか？

直角三角形

直角三角形は、90度の角を持っている三角形です。完全な四角形の角です。

直角はどこでも見られます。書物の隅、ドアフレームの縁、壁と床の交差点などです。

直角の2つの辺は 腿 と呼ばれています。

直角とは逆の辺、最も長い辺は 斜辺 と呼ばれています。

数千年前に発見された大きなアイデアは次のとおりです:

a² + b² = c²

ここで、a と b は腿で、c は斜辺です。

言葉で言うと：直角三角形に三角形を描くと、2つの小さな三角形の面積は、最大の三角形の面積と正確に合います。

視覚的証明

平方で見る

Pythagorean Squares on a 3-4-5 Triangle

The 3-4-5 right triangle with labeled legs and hypotenuse, the formula worked out, and a table of common Pythagorean triples

3 & 4の長さの足を持つ右三角形を想像してください。

それぞれの辺に四角形を描いてみましょう：

- 長さ3の足に四角形を描いた場合、面積は3² = 9です

- 長さ4の足に四角形を描いた場合、面積は4² = 16です

- ひポテンセの四角形の面積は9 + 16 = 25です

そして、25の平方根は5です。

したがって、ひポテンセは5ユニット長です。それは幾何学における有名なものです：3-4-5の右三角形。

右三角形の2本の足が3 & 4である場合、直角の長さは何ですか？a² + b² = c²を使用して計算してください。

梯子問題

失われた辺を見つける

ピタゴラスの定理は、ひポテンセの長さを求めるだけでなく、どの辺も求めることができます。辺を求める際には式を変形します。

足の長さを求める場合：a² = c² - b²

クラシックな問題を試してみましょう。

梯子は10フィートで、壁に寄せている状態です。梯子の底は6フィート離れています。

壁、地面、および梯子が右三角形を形成しています。梯子はひポテンセで、右角の間から最も長い辺です。

地面の距離（6フィート）は一つの足です。壁の高さはもう一つの足で、それを求める必要があります。

梯子はどのくらいの高さまで壁に達しますか？式を設定し、手順を段階的に解きます。

有名な三つ子

ピタゴラスの三つ子

ピタゴラスの三つ子は、a² + b² = c² を満たす3つの整数の集合です。

以下が最も一般的なものです:

- 3, 4, 5: クラシック (9 + 16 = 25)

- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)

- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)


建築家の3-4-5ルール

木工や建設作業員は、毎日3-4-5三つ子を使って正しい角度を作ります。

これがどのように機能するかは、正方形の角を必要な場合、1つの側面に3フィート、もう一方の側面に4フィートを測定し、2つのポイントの間の斜め線が正確に5フィートである場合、角が90度の正しい角度です。

このトリックは、古代エジプトでピラミッドを建設する人々によって使われています。彼らはこの仕事をする人々を ロープ・スチーラー と呼んで、3、4、そして5の単位で測られる繋がれたロープを使っていました。

7, 24, 25 はピタゴラスの三つ子ですか？それを証明するには、a² + b² = c² をチェックしてください。

三角形から座標に

座標幾何学へのつながり

座標平面に2つのポイント P1(1,2) と P2(4,6) が表示されており、水平と垂直の差をもとに形成された直三角形と、距離公式の計算が示されています。

ピタゴラスの定理は、幾何学の教室でだけ活躍するものではありません。座標平面上で使用される 距離公式 のエンジンでもあります。

つながりは以下の通りです：座標平面上の2点間の距離を求める場合、直三角形を描いて、距離が斜辺になるようにします。

2つのポイントがあります： (x₁, y₁) と (x₂, y₂)。

- その間の水平距離は (x₂ - x₁) で、それは1つの傾斜辺です。

- その間の垂直距離は (y₂ - y₁) で、それはもう1つの傾斜辺です。

- 直線上の距離は、斜辺です。

ピタゴラスの定理を適用します:

d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

それはすべてです。距離の公式は、座標幾何学の仮面を着たピタゴラスの定理です。

(1, 2) と (4, 6) の間の距離を求めましょう。計算を示してください。

ピタゴラスの定理の野性

定理はどこでも存在します

! [四つの実用例：壁に登る梯子、画面の対角線、野球場、GPSの距離 — すべてがa² + b² = c²で解決されます](/static/diagrams/pythagorean_applications.svg)

ピタゴラスの定理は、数学における最も実用的なアイデアの1つです。ここでは、実生活でどのように現れるかを見ていきましょう。


ナビゲーション & GPS: あなたの電話は、距離の公式を使用して、座標間の距離を計算します。この距離の公式は、ピタゴラスの定理です。小規模なスケールでは、緯度と経度はグリッドを形成し、直線距離は斜辺になります。


建築 & 建築: すべての直角は、この定理でチェックされました。3-4-5のロープ伸ばしトリックは、今日の建設現場でも使用されています。


画面サイズ: テレビや携帯電話が55インチの画面を持っていると広告で表示される場合、その数字は対角線測定です。画面の幅と高さの右三角形の斜辺になります。


スポーツ: ホームプレートから二塁までのボールがどれくらいの距離を進むのでしょうか？塁が四角形を形成し、投球は斜辺、ピタゴラスの問題です。

あなたの携帯電話の画面の寸法が6.1インチと広告で表示されている：それは対角線測定です。画面の幅は2.8インチです。小数第1位まで四捨五入して、高さを求めてください。