त्रिभुज का क्षेत्रफल

त्रिभुज का क्षेत्रफल ½ × आधार × ऊंचाई क्यों है?

यहाँ मुख्य अंतर्दृष्टि है: हर त्रिभुज एक आयत का ठीक आधा है।

कोई त्रिभुज बनाएं। अब इसे कॉपी करने की कल्पना करें, कॉपी को फ्लिप करें, और इसे मूल के विरुद्ध फिट करें। आपको एक आयत (या समांतर चतुर्भुज) मिलता है जिसका आधार और ऊंचाई समान है।

चूंकि त्रिभुज आयत का आधा है:

- आयत का क्षेत्रफल = आधार × ऊंचाई

- त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × आधार × ऊंचाई

आधार कोई भी भुजा है जिसे आप चुनते हैं। ऊंचाई आधार से विपरीत बिंदु तक की लंबवत दूरी है — इसे आधार के साथ 90° कोण बनाना चाहिए।

उदाहरण: आधार 10 सेमी और ऊंचाई 6 सेमी वाला त्रिभुज का क्षेत्रफल = ½ × 10 × 6 = 30 cm²।

वृत्त का क्षेत्रफल

वृत्त: π एक दिखावट बनाता है

एक वृत्त का क्षेत्रफल उसकी त्रिज्या (r) पर निर्भर करता है — केंद्र से किनारे तक की दूरी।

क्षेत्रफल = π × r²

जहाँ π (पाई) ≈ 3.14 है। यह एक विशेष संख्या है जो जब भी वृत्त शामिल होते हैं दिखाई देती है।

वृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए: पहले त्रिज्या को वर्ग करें, फिर π से गुणा करें।

परिधि (वृत्त के चारों ओर की दूरी) है:

C = 2 × π × r

अंतर पर ध्यान दें: क्षेत्रफल r² का उपयोग करता है (वर्ग इकाइयां देता है), परिधि केवल r का उपयोग करती है (रैखिक इकाइयां देती है)।

पिज्जा गणित

पिज्जा गणित के लिए समय

एक गोलाकार पिज्जा की त्रिज्या 6 इंच है।

जटिल आकृतियों को तोड़ना

समग्र आकृतियाँ: विभाजित करें और जीतें

वास्तविक दुनिया की आकृतियां शायद ही कभी सही आयतें या वृत्त होती हैं। एक कमरा L-आकार का हो सकता है। एक आँगन आयत और त्रिभुज को जोड़ सकता है। एक खिड़की एक आयत हो सकती है जिसके ऊपर अर्धवृत्त हो।

रणनीति हमेशा समान होती है:

1. तोड़ें जटिल आकृति को सरल आकृतियों में जिन्हें आप जानते हैं (आयत, त्रिभुज, वृत्त)

2. गणना करें प्रत्येक सरल आकृति का क्षेत्रफल

3. जोड़ें कुल क्षेत्रफल के लिए उन्हें

कभी-कभी आपको घटाना पड़ता है जोड़ने के बजाय — जैसे एक दीवार का क्षेत्रफल ज्ञात करना जिसमें खिड़की कटी हो। दीवार का क्षेत्रफल माइनस खिड़की का क्षेत्रफल उस क्षेत्र के बराबर है जिसे आपको रंगना है।

L-आकार की कमरा

L-आकार की कमरा

एक L-आकार की कमरा दो आयतों से मिलकर बनी है जो एक दूसरे से जुड़ी हुई हैं।

- आयत 1 10 m × 4 m है

- आयत 2 6 m × 3 m है

आयतन क्या है?

आयतन: एक 3D आकृति के अंदर की जगह

जैसे क्षेत्रफल एक सपाट आकृति के अंदर की जगह को मापता है, आयतन एक त्रि-आयामी ठोस के अंदर की जगह को मापता है।

आयतन को उन छोटे घनों की संख्या के रूप में सोचें जिन्हें आप आकृति के अंदर पैक कर सकते हैं।

मुख्य सूत्र:

- घन: V = s³ (भुजा × भुजा × भुजा)

- आयताकार प्रिज्म (बॉक्स): V = l × w × h (लंबाई × चौड़ाई × ऊंचाई)

- बेलन: V = π × r² × h (गोलाकार आधार का क्षेत्रफल × ऊंचाई)

- गोला: V = 4/3 × π × r³

आयतन को घन इकाइयों में मापा जाता है — cm³, m³, ft³। छोटा ³ का मतलब है कि हम घन गिन रहे हैं।

एक उपयोगी रूपांतरण: 1 लीटर = 1,000 cm³। यही है कि हम ज्यामिति को वास्तविक दुनिया की माप जैसे कि कंटेनर कितना पानी रखता है, से कैसे जोड़ते हैं।

मछली की टंकी का आयतन

टंकी में कितना पानी है?

एक आयताकार मछली की टंकी 60 सेमी लंबी, 30 सेमी चौड़ी, और 40 सेमी ऊंची है।

पहले cm³ में आयतन ज्ञात करें, फिर लीटर में बदलें।

याद रखें: 1 लीटर = 1,000 cm³।

ग्रिड के माध्यम से नेविगेट करना

समन्वय समतल

समन्वय समतल दो संख्याओं का उपयोग करके बिंदुओं को प्लॉट करने के लिए एक ग्रिड है।

मुख्य भाग:

- X-अक्ष — क्षैतिज संख्या रेखा (बाएँ–दाएँ)

- Y-अक्ष — ऊर्ध्वाधर संख्या रेखा (ऊपर–नीचे)

- मूलबिंदु — बिंदु (0, 0) जहाँ अक्ष पार करते हैं

- निर्देशांक — हर बिंदु को (x, y) के रूप में लिखा जाता है — पहले क्षैतिज, फिर ऊर्ध्वाधर

चार चतुर्थांश

अक्ष समतल को चार क्षेत्रों में विभाजित करते हैं जिन्हें चतुर्थांश कहा जाता है:

- चतुर्थांश I (ऊपर दाएँ): x सकारात्मक है, y सकारात्मक है — जैसे (3, 2)

- चतुर्थांश II (ऊपर बाएँ): x नकारात्मक है, y सकारात्मक है — जैसे (-2, 4)

- चतुर्थांश III (नीचे बाएँ): x नकारात्मक है, y नकारात्मक है — जैसे (-3, -1)

- चतुर्थांश IV (नीचे दाएँ): x सकारात्मक है, y नकारात्मक है — जैसे (4, -2)

इसे एक नक्शे की तरह सोचें: x आपको बताता है कि आप पूर्व या पश्चिम में कितना दूर हैं, y आपको बताता है कि आप उत्तर या दक्षिण में कितना दूर हैं।

बिंदुओं से आकृति

बिंदुओं को जोड़ना

जब आप समन्वय समतल पर बिंदुओं को प्लॉट करते हैं और उन्हें क्रम में जोड़ते हैं, तो आप आकृतियां बना सकते हैं।

इसे आजमाएं: बिंदु (0, 0), (4, 0), (4, 3), और (0, 3) को प्लॉट करें और उन्हें जोड़ें।