ترحيب
اليوم سنستكشف واحدة من أرقى الأفكار في كل الرياضيات.
وهي تسمى مبرهنة بطاغور، وقد استخدمت لأكثر من 2,500 عام: من المباني القديمة والبحارة والمهندسين حتى نظام التوجيه بالGPS في هاتفك.
سميت المبرهنة باسم بطاغور، وهو رياضياتي يوناني ولد حوالي 570-495 ق.م. كان يرأس مجتمعًا من علماء يعتقدون أن الأعداد هي لغة سرية للكون.
لكن هناك شيء: كان البابليون يعرفون هذه العلاقة منذ 1000 عام قبل وصول بطاغور للعالم. تضم طاولة الفخار المعروفة بـ بليمبتون 322، وتعود إلى حوالي 1800 ق.م.، مجموعات بطاغور: دليل على أن المثقفيين البابليين فهموا النمط قبل اليونان.
في نهاية هذا الدرس، ستتمكن من استخدام هذه المبرهنة للبحث عن المسافات المفقودة وتحقق زوايا مستقيمة وترى الجبرية في الحياة اليومية.
الاستعداد
مشكلة تستحق الحل
تخيل أنك تقف على ضفاف بحيرة. يمكنك رؤية شجرة على الجانب الآخر، مباشرة عبر الماء. لديك مقياس لطول، لكنك بالتأكيد لا ترغب في السباحة.
ما الذي يجعل المثلثة مائلة؟
المثلثة المائلة
المثلثة المائلة هي مثلثة بها زاوية قياس 90 درجة: زاوية مربع مثالية.
ترى الزوايا المائلة في كل مكان: زاوية الكتاب، حافة إطار الباب، تقاطع الجدار والطابق.
السيدتان التي تشكلان الزاوية المائلة تسميان بالـ الجذع.
الطرف الذي يقع على الجانب الآخر من الزاوية المائلة، الطول الطويل، يسمى الأساس.
هذا هو الفكرة الكبيرة، اكتشفت منذ آلاف السنين:
a² + b² = c²
حيث a و b هما الجذع، و c هو الأساس.
بكلمات أخرى: إذا رسمت مربعًا على كل جانب من جوانب المثلثة المائلة، فإن مساحة المربعات الصغيرة المضافة تساوي مساحة المربع الأكبر.
دليل بصري
رؤية المربعات
صورة مثلث ذو زاوية قائمة لديه أطراف طولها 3 و 4.
خلق مربعا على كل جانب:
- المربع على الجانب طوله 3 يملك مساحة 3² = 9
- المربع على الجانب طوله 4 يملك مساحة 4² = 16
- المربع على المضلع يملك مساحة 9 + 16 = 25
ما الجذر التربيعي من 25؟ هو 5.
إذن المضلع الأقصر هو 5 وحدة. وهذا هو مثلث 3-4-5: الأكثر شهرة في الجبرية.
مشكلة السلم
العثور على الأطراف المفقودة
مناهج بيثاغورس ليست فقط لتحديد المضلع الأقصر. يمكنك إعادة ترتيبه لتحديد أي طرف مفقود.
لتحديد جانب: a² = c² - b²
دعونا ننظر إلى مشكلة كلاسيكية.
السلم طوله 10 أقدام ويتم وضعها ضد الجدار. المسافة الأساسية للسلم هي 6 أقدام عن الجدار.
الجدار والتراب والسلم يتشكلون مثلثا ذا زاوية قائمة. السلم هو المضلع الأطول (هو الجانب الأطول من الزاوية اليمنى بين الجدار والتراب).
مسافة التراب (6 أقدام) هي أحد الجوانب. الارتفاع نحو الجدار هو الجانب الآخر: وهذا ما نحتاج إلى العثور عليه.
ثلاثات مشهورة
ثنائيات مسطحة
ثنائية مسطحة هي مجموعة من ثلاثة أعداد صحيحة تفي ب条件 a² + b² = c².
هذه أشهرها:
- 3, 4, 5: الكلاسيكية (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)
قاعدة البنائي 3-4-5
يستخدم البنائيون وموظفي الإنشاءات ثلاثة-أربعة-خمسة يوميًا لجعل زوايا مستقيمة مثالية.
هذا هو كيفية عملها: عند الحاجة إلى زاوية مربعة، مثل قاعدة، أو مرفق، أو جدار، قي 3 أقدامًا على جانب واحد و 4 أقدام على الجانب الآخر. إذا كان المسافة المستقيمة بين تلك النقطةين هي exactly 5 أقدام، فإن زواقتك ستكون زاوية 90 درجة مثالية.
تستخدم هذه الفكرة منذ المصراوات الأقدم التي بنيت في مصر. كانوا يسمون أولئك الذين فعلوا ذلك مطوّقو السلاسل: كانوا يستخدمون سلاسل مطوّقة مقياسًا في وحدات 3 و 4 و 5.
من المثلثات إلى التنسيق
ربط المثلثات بتحليل التنسيق
لا يزال قانون ثنائيات المسطحة يعيش في صفوف الجبر: هو محرك معادلة المسافة التي تستخدمها على مخطط التنسيق.
هذا هو الربط: إذا كنت ترغب في إيجاد المسافة بين نقطتين، يمكنك رسم مثلثًا ذا زاوية قائمة حيث يكون المسار هو الجذع.
suppose لديك نقطتين: (x₁, y₁) & (x₂, y₂).
- المسافة العمودية بينهما هي (x₂ - x₁): هذا رجل.
- المسافة المنزلقة بينهما هي (y₂ - y₁): هذا الرجل الآخر.
- المسافة المستقيمة هي الجذع.
طبق قانون ثنائيات المسطحة:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
هذا هو. صيغة المسافة هي مجرد معيار بيثاغورس يرتدي قناع الجبري التنسيقي.
مثلث بيثاغورس في البرية
كل المعايير متواجدة
مثلث بيثاغورس هو إحدى الأفكار الأكثر فائدة عمليا في جميع الرياضيات. وهذا هو المكان الذي يظهر فيه في الحياة الواقعية:
التنقل وGPS: يتم حساب المسافات بواسطة هاتفك بين الأحداث الإحداثية باستخدام صيغة المسافة، التي هي معيار بيثاغورس. على نطاق صغير، يتم تشكيل شبكة من العرض والطول، وتباعد الخطوط المستقيمة هي الأساس.
الهندسة والبناء: تم التحقق من كل زاوية قائمة في كل مبنى باستخدام هذا المعيار. يتم استخدام لعبة الربيع Stretching 3-4-5 حتى في مواقع البناء اليوم.
قياسات الشاشة: عندما يتم الإعلان عن شاشة التلفزيون أو الهاتف باحتمال 55 إنش أو 6.1 إنش من قياس العرض، فإن هذا العدد هو قياس القياس الظليل. القياس الظليل للRECTANGLE هو الأساس في مثلث القائمة الناتج من عرضها وارتفاعها.
الرياضات: ما بعد كم يتنقل كرة البيسبول من منصة الالعاب إلى منصة الالعاب الثانية؟ حيث يتشكل الأبواب في مربع، وتباعد الكرة هو القياس الظليل، مشكلة مثلث بيثاغورس.