Witamy
Dziś zbadamy jedno z najstarszych i najpotężniejszych pomysłów w całej matematyce.
Nazywa się to Teorem Pitagorasa i od ponad 2500 lat było używane przez starożytnych budowniczych, żeglarzy, inżynierów oraz nawet GPS w twoim telefonie.
Teorem nazwano na cześć Pitagorasa, greckiego matematyka, który żył około 570-495 pne. Przewodził społeczności uczonych, którzy wierzyli, że liczby są tajemnym językiem wszechświata.
Ale oto sprawa: Babilończycy znali tę relację co najmniej 1000 lat przed narodzeniem Pitagorasa. Tabliczka gliniana zwana Plimpton 322, datowana na około 1800 pne, zawiera potrójne Pitagorasa: dowód na to, że starożytni Mieszkańcy Mezopotamii rozumiał wzorzec długo przed Grekami.
Do końca tego lekcji będziesz mógł użyć tego teoremu do znajdowania brakujących odległości, sprawdzania kątów prostych i obserwowania geometrii w codziennym życiu.
Rozgrzewka
Problem wart rozwiązania
Wyobraź sobie, że stoisz po jednej stronie jeziora. Zobaczysz drzewo na drugiej stronie, prosto przez wodę. Masz miernik, ale na pewno nie chcesz pływać.
Co sprawia, że jest to rówa triangula?
Rówa Triangula
Rówa triangula to trójkąt, który ma jeden kąt równy dokładnie 90 stopni: doskonały prostokątny róg.
Rówe kąty można spotkać wszędzie: narożnik książki, brzeg drzwi, przecięcie ściany i podłogi.
Dwa boki, które tworzą rówy kąt, nazywamy nogami.
Bok przeciwległy do rówego kąta, najdłuższy bok, nazywamy hipotenuza.
Wielki pomysł, odkryty tysiące lat temu, brzmi:
a² + b² = c²
gdzie a i b to nogi, a c to hipotenuza.
W słowach: jeśli narysujemy kwadrat na każdym boku rówej trianguly, obszar dwóch mniejszych kwadratów suma dokładnie do obszaru największego kwadratu.
Wizualny Dowód
Oglądanie z kwadratami
Wyobraź sobie trójkąt prostokątny o długościach boków 3 i 4.
Teraz wyobraź sobie narysowanie kwadratu na każdym boku:
- Kwadrat na odcinku o długości 3 ma pole 3² = 9
- Kwadrat na odcinku o długości 4 ma pole 4² = 16
- Kwadrat na hipotenezie ma pole 9 + 16 = 25
A co to jest pierwiastek z 25? To 5.
Dlatego hipotenza ma 5 jednostek długości. To jest najbardziej znany trójkąt prostokątny w całej geometrii.
Problem z drabinką
Znajdowanie brakujących boków
Teorema Pitagorejska nie jest tylko do znajdywania hipotenez. Można ją przestawić, aby znaleźć każdy brakujący bok.
Aby znaleźć nogę: a² = c² - b²
Spróbujmy klasyka.
Drabina ma 10 stóp długości i leży o 6 stóp od ściany.
Ściana, podłoże i drabina tworzą trójkąt prostokątny. Drabina jest hipotenzą (to najdłuższy odcinek, pionowy od kąta prostego między ścianą a podłożem).
Odległość podłoża (6 stóp) to jeden z nóg. Wysokość na ścianę to druga noga: i to właśnie to musimy znaleźć.
Słynne Trójki
Trojki Pitagorejskie
Jest to trojka pitagorejska zestaw trzech całkowitych liczby spełniających warunek a² + b² = c².
To są najbardziej popularne:
- 3, 4, 5: klasyczne (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)
Zasada Budowniczego 3-4-5
Cieśle i pracownicy budowlani używają tej samej zasady 3-4-5 każdego dnia, aby stworzyć doskonale prostokątne kąty.
To działa tak: gdy potrzebujesz kwadratowego narożnika, na fundamencie, tarasie czy ogrodzie, zmierzyć 3 stopy wzdłuż jednej strony i 4 stopy wzdłuż drugiej. Jeśli przeciwległy ukos między tymi dwoma punktami wynosi dokładnie 5 stóp, Twój narożnik będzie doskonałym 90 stopni.
Ta sztuka była używana już przez starożydńskich Egipcjan, którzy budowali piramidy. Nazywali oni ludzi, którzy to robili tzw. rozciągacze liny. Używali oni liny z węzłami, miarowanych w jednostkach 3, 4 i 5.
Od Trójkątów do Koordynat
Połączenie z Geometrią Koordynatną
Teoria Pitagorasa nie żyje tylko w klasie geometrii: jest ona napędem za wzorem na odległość, który używasz na płaszczyźnie koordynatnej.
To jest połączenie: jeśli chcesz znaleźć odległość między dwoma punktami, możesz narysować trójkąt prostokątny, gdzie odległość będzie hipotenuzą.
Mając dwa punkty: (x₁, y₁) & (x₂, y₂).
- Odległość poziomą między nimi to (x₂ - x₁): to jedna z boków.
- Odległość pionowa między nimi to (y₂ - y₁): to drugi bok.
- Odległość prostoliniowa to hipotenuza.
Zastosuj wzór Pitagorasa:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
To jest koniec. Wzór na odległość to po prostu Teorema Pitagorasa ubrana w przebranie geometrii koordynatnej.
Teorema Pitagorasa na świeżym powietrzu
Teorema wszędzie
Teorema Pitagorasa jest jednym z najbardziej praktycznie użytecznych pomysłów w całej matematyce. To jest miejsce, gdzie pojawia się w rzeczywczym życiu:
Nawigacja & GPS: Twój telefon oblicza odległości między współrzędnymi, korzystając z wzoru na odległość, co jest Teorema Pitagorasa. Na małych skalach szerokość i długość geograficzne tworzą siatkę, a odległości prostoliniowe są hipotenezami.
Architektura & Budownictwo: Każdy prosty kąt w każdym budynku został sprawdzony za pomocą tego teoremu. Trójkąt 3-4-5 jest nadal używany na placach budowy dziś.
Rozmiary ekranów: Gdy telewizor lub telefon reklamowany jest jako mając 55-calowy ekran lub 6,1-calowy wyświetlacz, ta liczba to miara średnicy. Średnica prostokąta to hipotenza trójkąta o prostym kącie, utworzonego przez jego szerokość i wysokość.
Sport: Jak daleko leci piłka baseballowa od home plate do drugiego bazy? Bazy tworzą kwadrat, a rzut jest przekątną, problem Pitagorasa.