Witamy
Dziś zbadamy jedno z najstarszych i najpotężniejszych pomysłów w całej matematyce.
Nazywa się to Teorem Pitagorasa i służyło przez ponad 2500 lat: budowniczym starożytnym, żeglarzom, inżynierom oraz nawet telefonowi GPS.
Teorem nazwano na cześć Pitagorasa, greckiego matematyka, który żył około 570-495 p.n.e. Przewodził on społeczności uczonych, którzy wierzyli, że liczby są tajnym językiem uniwersum.
Ale oto sprawa: Babilończycy znali tę relację co najmniej 1000 lat przed narodzeniem Pitagorasa. Tabliczka gliniana zwana Plimpton 322, datowana na około 1800 p.n.e., zawiera potrójne Pitagorasa: dowód na to, że starożytni Mezopotamczycy zrozumieli wzorzec długo przed Grekami.
Do końca tego lekcji będziesz mógł użyć tego teoremu do znajdowania brakujących odległości, sprawdzania kątów prostych i obserwowania geometrii w codziennym życiu.
Rozgrzewka
Problem wart rozwiązania
Wyobraź sobie, że stoisz po jednej stronie jeziora. Zobaczysz drzewo na drugiej stronie, prostopadle nad wodą. Masz miernik, ale na pewno nie chcesz pływać.
Co sprawia, że trójkąt jest prosty?
Trójkąt prosty
Trójkąt prosty to trójkąt, który ma jeden kąt równy 90 stopni: doskonały kwadratowy róg.
Przeciętni ludzie spotykają kąty prostowane wszędzie: narożnik książki, krawędź ramy drzwi, przecięcie ściany i podłogi.
Dwa boki, które tworzą kąt prosty, nazywane są nogami.
Bok przeciwny kątowi prostemu, najdłuższy bok, nazywany jest hipotenuza.
Tu jest wielki pomysł, który został odkryty tysiące lat temu:
a² + b² = c²
gdzie a i b to nogi, a c to hipoteniza.
W słowach: jeśli na każdym boku trójkąta prostego narysujemy kwadrat, obszar dwóch mniejszych kwadratów będzie dokładnie równy obszarowi największego kwadratu.
Wizualne dowody
Zobaczanie z kwadratami
Wyobraź sobie trójkąt prostokątny o długości nóg 3 & 4.
Teraz wyobraź sobie narysowanie kwadratu na każdym boku:
- Kwadrat na nodze o długości 3 ma pole 3² = 9
- Kwadrat na nodze o długości 4 ma pole 4² = 16
- Kwadrat na hipotenzy ma pole 9 + 16 = 25
A co to jest pierwiastek z 25? To 5.
Dlatego hipotenza ma 5 jednostek długości. To jest najbardziej znany trójkąt prostokątny w całej geometrii.
Problem z drabinką
Znajdywanie brakujących stron
Teorema Pitagorasa nie jest tylko do znajdywania hipoteny. Można ją przestawić, aby znaleźć każdą brakującą stronę.
Aby znaleźć nogę: a² = c² - b²
Spróbujmy klasyka.
Drabina ma 10 stóp długości & opiera się o ścianę. Odległość podstawy drabiny od ściany wynosi 6 stóp.
Ściana, podłoga & drabina tworzą trójkąt prostokątny. Drabina jest hipotenzą (to najdłuższy bok, zagięty pod kątem prostym między ścianą a podłogą).
Odległość podłogi (6 stóp) to jedna noga. Wysokość w górę ściany to druga noga: & to właśnie to musimy znaleźć.
Słynne Trójki
Trojki Pitagorejskie
Trojka Pitagorejska to zestaw trzech całkowitych liczby spełniających warunek a² + b² = c².
To są najczęściej spotykane:
- 3, 4, 5: klasyczne (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)
Zasada Budowniczego 3-4-5
Cieśle i pracownicy budowlani używają tej samej zasady 3-4-5 każdego dnia, aby stworzyć doskonale proste kąty.
To działa tak: jeśli potrzebujesz prostokątnego narożnika, dla fundamentu, tarasu czy ogrodzenia, zmierź 3 stopy wzdłuż jednej strony i 4 stopy wzdłuż drugiej. Jeśli przeciwprostokątna między tymi dwoma punktami wynosi dokładnie 5 stóp, twój narożnik będzie doskonały 90 stopni.
Ten trik był używany już przez starożytnych Egipcjan, którzy budowali piramidy. Oni nazywali ludzi, którzy robili to rope stretchers: używali węzełkowanych lin w jednostkach 3, 4 i 5.
Od Trójkątów do Koordynat
Połączenie z geometrią koordynatną
Teoria Pitagorasa nie żyje tylko w klasie geometrii: jest silnikiem za wzorem na odległość, który używasz na płaszczyźnie koordynatnej.
Oto połączenie: jeśli chcesz znaleźć odległość między dwoma punktami, możesz narysować trójkąt prostokątny, gdzie odległość będzie hipotenuzą.
Mając dwa punkty: (x₁, y₁) i (x₂, y₂).
- Odległość poziomą między nimi to (x₂ - x₁): to jedna noga.
- Odległość pionowa między nimi to (y₂ - y₁): to druga noga.
- Odległość prostoliniowa to hipotenuza.
Zastosuj wzór Pitagorasa:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
To jest koniec. Wzór na odległość to tylko Teorema Pitagorasa z maską geometrii koordynatnej.
Teorema Pitagorasa na świeżym powietrzu
Teorema jest wszędzie
Teorema Pitagorasa jest jednym z najbardziej praktycznie użytecznych pomysłów w całej matematyce. To jest miejsce, gdzie pojawia się w rzeczywczym życiu:
Nawigacja & GPS: Twój telefon oblicza odległości między koordynatami za pomocą wzoru na odległość, który to Teorema Pitagorasa. Na małych skalach szerokość i długość geograficzne tworzą siatkę, a odległości prostoliniowe są hipotenezami.
Architektura & Budownictwo: Każdy prosty kąt w każdym budynku został sprawdzony za pomocą tego twierdzenia. Przywiązanie 3-4-5 jest nadal używane na placach budowy.
Rozmiary ekranów: Gdy telewizor lub telefon reklamowany jest jako mając 55-calowy ekran lub 6,1-calowy wyświetlacz, to liczba jest miarą poziomą. Pozioma odległość w prostokącie to hipotenza trójkąta prostokątnego, który tworzy jego szerokość i wysokość.
Sport: Jak daleko przelatuje piłka baseballowa od domu do drugiego biegu? Bazy tworzą kwadrat, a rzut jest poziomą odległością, problem Pitagorasa.