Bienvenue
Aujourd'hui, nous allons explorer l'une des idées les plus anciennes et les plus puissantes de toutes les mathématiques.
Il s'appelle le théorème de Pythagore et il a été utilisé depuis plus de 2 500 ans : par des constructeurs anciens, des marins, des ingénieurs et même le GPS de votre téléphone.
Le théorème est nommé d'après Pythagore, un mathématicien grec qui a vécu autour de 570-495 av. J.-C. Il a dirigé une communauté de savants qui croyaient que les nombres étaient le secret du univers.
Mais voici l'essentiel : les Babyloniens connaissaient cette relation au moins 1 000 ans avant la naissance de Pythagore. Une tablette en argile appelée Plimpton 322, datant d'environ 1800 av. J.-C., contient des triplets pythagoriciens : preuve que les Mésopotamiens anciens comprenaient le modèle bien avant les Grecs.
À la fin de cette leçon, vous pourrez utiliser ce théorème pour trouver des distances manquantes, vérifier les angles droits et découvrir la géométrie partout dans la vie de tous les jours.
Réchauffement
Un problème à résoudre
Imaginez que vous êtes sur un bord d'un lac. Vous voyez un arbre de l'autre côté de l'eau. Vous avez une règle à ruban, mais vous ne voulez vraiment pas nager.
Qu'est-ce qu'un triangle rectangle ?
Le triangle rectangle
Un triangle rectangle est un triangle qui a un angle mesurant exactement 90 degrés : un angle carré parfait.
Vous voyez des angles droits partout : l'angle d'un livre, le bord d'une chambranle de porte, l'intersection d'un mur et un plancher.
Les deux côtés qui forment l'angle droit sont appelés les jambes.
Le côté en face de l'angle droit, le côté le plus long, est appelé l'hypoténuse.
Voici l'idée clé, découverte des milliers d'années auparavant :
a² + b² = c²
où a et b sont les jambes et c est l'hypoténuse.
En termes simples : si vous tracez un carré sur chaque côté d'un triangle droit, la surface des deux petits carrés fait exactement la surface du plus grand carré.
Preuve visuelle
Le théorème de Pythagore en action
Imaginez un triangle rectangle avec des jambes de longueur 3 & 4.
Imaginez maintenant de dessiner un carré sur chaque côté :
- Le carré sur la jambe de longueur 3 a une superficie de 3² = 9
- Le carré sur la jambe de longueur 4 a une superficie de 4² = 16
- Le carré sur l'hypoténuse a une superficie de 9 + 16 = 25
Et quelle est la racine carrée de 25 ? C'est 5.
Donc, l'hypoténuse mesure 5 unités de longueur. C'est le triangle rectangle le plus célèbre de tous les temps.
Le problème de l'échelle
Trouver les côtés manquants
Le théorème de Pythagore n'est pas réservé uniquement au calcul de l'hypoténuse. Vous pouvez le reformuler pour trouver tout côté manquant.
Pour trouver une jambe : a² = c² - b²
Essayons avec un classique.
Une échelle mesure 10 pieds de long et repose contre un mur. La base de l'échelle est à 6 pieds du mur.
Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle. L'échelle est l'hypoténuse (c'est la plus longue, inclinée, entre l'angle droit formé par le mur et le sol).
La distance au sol (6 pieds) est une jambe. La hauteur sur le mur est l'autre jambe : et c'est celle que nous devons trouver.
Triples célèbres
Triples pythagoriciens
Un triple pythagoricien est un ensemble de trois nombres entiers qui satisfont à l'équation a² + b² = c².
Voici les plus courants:
- 3, 4, 5 : le classique (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13 : (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17 : (64 + 225 = 289)
La règle du constructeur 3-4-5
Les charpentiers et les travailleurs du bâtiment utilisent le triple 3-4-5 tous les jours pour obtenir des angles droits parfaits.
Voici comment ça marche : lorsque vous avez besoin d'un angle carré, pour une fondation, un ponton ou un grillage, mesurez 3 pieds le long d'une des côtés et 4 pieds le long de l'autre. Si la diagonale entre ces deux points est exactement de 5 pieds, votre angle est un parfait 90 degrés.
Cette astuce a été utilisée depuis les temps des anciens Égyptiens qui construisaient les pyramides. Ils appelaient les personnes qui faisaient cela les tireurs de cordes : ils utilisaient des cordes à nœuds mesurées en unités de 3, 4 et 5.
Des triangles aux coordonnées
Relier la géométrie des coordonnées
Le théorème de Pythagore ne vit pas seulement en classe de géométrie : il est l'engin derrière la formule de distance que vous utilisez sur un plan de coordonnées.
Voici le lien : si vous voulez trouver la distance entre deux points, vous pouvez tracer un triangle rectangle où la distance est l'hypoténuse.
Disons que vous avez deux points : (x₁, y₁) et (x₂, y₂).
- La distance horizontale entre eux est (x₂ - x₁) : c'est une jambe.
- La distance verticale entre eux est (y₂ - y₁) : c'est l'autre jambe.
- La distance droite est l'hypoténuse.
Appliquez le théorème de Pythagore:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
C'est tout. La formule de distance est simplement le théorème de Pythagore déguisé en géométrie des coordonnées.
Le théorème de Pythagore dans la nature
Le théorème partout
Le théorème de Pythagore est l'une des idées les plus utiles en termes de pratique dans toutes les mathématiques. Voici où il se manifeste dans la vie réelle :
Navigation & GPS : Votre téléphone calcule les distances entre des coordonnées à l'aide de la formule de distance, qui est le théorème de Pythagore. À petite échelle, la latitude et la longitude forment un réseau, et les distances droites sont les hypoténuses.
Architecture & Construction : Chaque angle droit dans chaque bâtiment a été vérifié à l'aide de ce théorème. L'astuce de la corde à 3-4-5 est toujours utilisée sur les chantiers de construction aujourd'hui.
Tailles d'écran : Lorsqu'un téléviseur ou un téléphone est annoncé comme ayant une taille d'écran de 55 pouces ou un affichage de 6,1 pouces, ce nombre est la mesure diagonale. La diagonale d'un rectangle est la hypoténuse du triangle droit formé par sa largeur et sa hauteur.
Sports : À combien de pouces un baseball se déplace-t-il du point de chute au deuxième but ? Les buts forment un carré, et le lancer est la diagonale, un problème de Pythagore.