nu

guest
1 / ?
back to lessons

Välkommen

Idag kommer vi att utforska ett av de äldsta och mest mäktiga idéerna inom hela matematiken.

Det heter Pythagoras sats och har använts i över 2 500 år: av antika byggherrar, sjömän, ingenjörer och till och med din telefonens GPS.

Satsen är uppkallad efter Pythagoras, en grekisk matematiker som levde runt 570–495 f.Kr. Han ledde en grupp av forskare som trodde att siffror var universums dolda språk.

Men här är det viktiga: babylonierna kände till denna relation minst 1 000 år före Pythagoras föddes. En lera tablet kallad Plimpton 322, daterad till runt 1800 f.Kr., innehåller Pythagoreiska triader: bevis för att de antika mesopotamiska förstod mönster långt före grekerna.

När du har slutfört denna lektion kommer du att kunna använda den här satsen för att hitta saknade avstånd, kontrollera rät vinklar och se geometri i vardagen.

Värm upp

Ett problem värt att lösa

Föreställ dig att du står på en sida av en sjö. Du kan se en tall på den andra sidan, direkt över vattnet. Du har en bandmätare, men du vill absolut inte simma.

Hur skulle du mäta avståndet över sjön utan att korsa det? Tänk kreativt: det finns ingen enda rätt svar.

Vad gör en rätt triangel?

Rätt triangel

En rätt triangel är en triangel som har en vinkel på precis 90 grader: en perfekt kvadrat hörn.

Du ser räta vinklar överallt: hörnet på en bok, kanten på en dörröppning, där en vägg och en golv möts.

De två sidor som bildar den räta vinkeln kallas benen.

Den sida som är borta från den räta vinkeln, den längsta sidan, kallas hypotenusen.

Här är den stora idén, upptäckt för tusentals år sedan:

a² + b² = c²

där a och b är benen, och c är hypotenusen.

På svenska: om du ritar en kvadrat på varje sida av en rätt triangel, så adderar du områdena på de två mindre kvadraterna exakt till området på det största kvadratet.

Visuell bevis

Att se det med kvadrater

Pythagoreiska kvadrater på en 3-4-5 triangel

Den 3-4-5 rätvinkliga triangeln med märkta ben och hypotenus, formeln beräknas och en tabell med vanliga Pythagoreiska uppsättningar

Bildaa en rätvinklig triangel med benlängder på 3 & 4.

Föreställ dig att du drar en kvadrat på varje sida:

- Kvadraten på det ben med längd 3 har arealet 3² = 9

- Kvadraten på det ben med längd 4 har arealet 4² = 16

- Kvadraten på hypotenusan har arealet 9 + 16 = 25

Och vilket är rotvärdet av 25? Det är 5.

Så hypotenusan är 5 enheter lång. Det är den mest kända triangeln i hela geometrin.

Om de två ben i ett rätvinkligt triangeld är 3 & 4, vilken är längden på hypotenusan? Visa ditt arbete med hjälp av formeln a² + b² = c².

Skottkärrsproblem

Hitta bort de saknade sidorna

Pythagoreiska teoremet är inte bara för att hitta hypotenusan. Du kan omarrangera det för att hitta någon saknad sida.

För att hitta ett ben: a² = c² - b²

Låt oss prova på ett klassiskt problem.

Ett skottkärr är 10 fot långt och lutar mot en vägg. Avståndet mellan skottkärr och vägg är 6 fot.

Väggen, marken och skottkärret bildar en rätvinklig triangel. Skottkärret är hypotenusen (det är den längsta sidan, lutande från det vänstra hörnet mellan väggen och marken).

Avståndet mellan marken (6 fot) är ett ben. Höjden upp på väggen är det andra benet: och det är vad vi behöver hitta.

Hur högt når skottkärran på väggen? Ställ in ekvationen och lösa det steg för steg.

Kända triader

Pytagoreiska triader

En pytagoreisk triad är en uppsättning tre helånga tal som uppfyller a² + b² = c².

Här är de vanligaste:

- 3, 4, 5: klassikern (9 + 16 = 25)

- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)

- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)


Murars 3-4-5-regel

Snickare och byggarbetare använder triaden 3-4-5 varje dag för att skapa perfekta rätvinklar.

Här är hur det fungerar: när du behöver en kvadratisk hörn, för en grund, en uteplats eller en stängsel, mäta 3 fot längs en sida och 4 fot längs den andra. Om den diagonal mellan dessa två punkter är precis 5 fot, är ditt hörn ett perfekt 90 grader.

Denna knep har använts sedan de forna egyptierna byggde pyramiderna. De kallade de människor som gjorde detta repstreckare: de använde repmätta mätta i enheter av 3, 4 och 5.

Är 7, 24, 25 en pytagoreisk triad? Bevisa det genom att kontrollera om a² + b² = c².

Från trianglar till koordinater

Samband med koordinatgeometri

Koordinatplan med två punkter P1(1,2) och P2(4,6), visande den högra triangeln som bildas av de horisontella och vertikala skillnaderna, med avståndsformelberäkningen

Pythagoras sats lever inte bara i geometriden: den är motorn bakom avståndsformeln som används på koordinatplanet.

Här är sambandet: om du vill beräkna avståndet mellan två punkter kan du rita en höger triangel där avståndet är hypotenusen.

Säg att du har två punkter: (x₁, y₁) & (x₂, y₂).

- Den horisontella avståndet mellan dem är (x₂ - x₁): det är en ben.

- Den vertikala avståndet mellan dem är (y₂ - y₁): det är den andra benet.

- Det rätlinjiga avståndet är hypotenusen.

Använd Pythagoras sats:

d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Det är allt. Avståndsformeln är bara Pythagoras sätet med koordinatgeometriklädnad.

Beräkna avståndet mellan punkterna (1, 2) & (4, 6). Visa ditt arbete.

Pythagoras i vilda västern

Teoremet är överallt

'Fyra verkliga tillämpningar: repsteg mot väggen, skärmdiagonal, basebollplan och GPS-avstånd - alla lösts med a² + b² = c²

Pythagoras sätet är ett av de mest praktiskt användbara idéerna i hela matematiken. Här är där det uppvisar sig i verkligheten:


Navigering & GPS: Din telefon beräknar avstånd mellan koordinater med hjälp av avståndsformeln, vilket är Pythagoras sätet. På små skala bildar bredd- och längdkoordinater en gird, och rätlinjiga avstånd är hypotenusor.


Arkitektur & byggnadsställningar: Varje rät vinkel i varje byggnad kontrollerades med hjälp av detta teorem. Den 3-4-5 rep-streckningsknepet används fortfarande på byggarbetsplatser idag.


Skärmstorlekar: När en TV eller telefon markeras som ha en 55-tums skärm eller en 6,1-tums display, är det den diagonala mätningen. Diagonalen i en rektangel är hypotenusen i det högervinkliga triangeln bildad av dess bredd och höjd.


Idrotter: Hur långt reser en baseboll från hemplattan till andra plattan? Baserna bildar en kvadrat, och kastet är den diagonala, ett Pythagoras-problem.

Din mobilskärm är markerad som 6,1 tum: det är den diagonala mätningen. Om skärmens bredd är 2,8 tum, vilket är höjden? Runda till en decimalplats.