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今天我們將探索數學中最古老、最強大的概念之一。
它叫做畢達哥拉斯定理，已被使用超過2,500年——由古代建築師、水手、工程師，甚至你的手機GPS使用。
這個定理以畢達哥拉斯命名，他是一位約在公元前570–495年生活的希臘數學家。他領導了一個相信數字是宇宙秘密語言的學者社群。
但這裡有個有趣的事：巴比倫人在畢達哥拉斯出生前至少1,000年就知道這個關係。一塊名為普林頓322號的泥板，約於公元前1800年，包含畢達哥拉斯三元組——證明古代美索不達米亞人早在希臘人之前就理解了這個模式。
在這堂課的末尾，你將能夠使用這個定理來找到缺失的距離、檢查直角，並在日常生活中看到隱藏的幾何。
熱身
值得解決的問題
想像你站在湖的一邊。你可以看到另一邊有一棵樹，正好在水對面。你有一把卷尺，但你絕對不想游泳。
什麼是直角三角形？
直角三角形
直角三角形是有一個角正好測量90度——完美正方形角的三角形。
你在到處都看到直角：書的角、門框的邊緣、牆壁和地板的交點。
形成直角的兩邊叫做腿。
直角對面的邊——最長的邊——叫做斜邊。
這是千年前發現的大概念：
a² + b² = c²
其中a和b是腿，c是斜邊。
用言語說：如果你在直角三角形的每一邊上畫一個正方形，兩個較小的正方形的面積加起來正好等於最大正方形的面積。
視覺證明
用正方形看透它
想像一個腿長為3和4的直角三角形。
現在想像在每一邊上畫一個正方形：
- 長度為3的腿上的正方形面積是3² = 9
- 長度為4的腿上的正方形面積是4² = 16
- 斜邊上的正方形面積是9 + 16 = 25
而25的平方根是什麼？它是5。
所以斜邊長5個單位。那是3-4-5直角三角形——所有幾何中最著名的。
梯子問題
尋找缺失的邊
畢達哥拉斯定理不僅用於找到斜邊。你可以重新排列它來找到任何缺失的邊。
要找到一條腿：a² = c² - b²
讓我們嘗試一個經典問題。
一個梯子是10英尺長並靠在牆上。梯子的底部距離牆6英尺。
牆、地面和梯子形成一個直角三角形。梯子是斜邊（它是最長的邊，從直角之間的牆和地面傾斜橫跨）。
地面距離（6英尺）是一條腿。牆的高度是另一條腿——這是我們需要找到的。
著名的三元組
畢達哥拉斯三元組
畢達哥拉斯三元組是滿足a² + b² = c²的三個整數的集合。
以下是最常見的：
- 3, 4, 5 ——經典（9 + 16 = 25）
- 5, 12, 13 ——（25 + 144 = 169）
- 8, 15, 17 ——（64 + 225 = 289）
建築商的3-4-5規則
木匠和建築工人每天都使用3-4-5三元組來製作完美的直角。
它的工作原理是這樣的：當你需要一個直角時——對於基礎、甲板或圍欄——在一邊測量3英尺，在另一邊測量4英尺。如果這兩點之間的對角線正好是5英尺，你的角就是完美的90度。
這個技巧自古埃及人建造金字塔以來就被使用。他們稱做這個的人為繩子拉伸者——他們使用以3、4和5為單位的結繩。
從三角形到坐標
連接到坐標幾何
畢達哥拉斯定理不僅在幾何課中存在——它是你在坐標平面上使用的距離公式的引擎。
這裡是連接：如果你想找到兩點之間的距離，你可以畫一個直角三角形，其中距離是斜邊。
假設你有兩點：(x₁, y₁)和(x₂, y₂)。
- 它們之間的水平距離是(x₂ - x₁)——那是一條腿。
- 它們之間的垂直距離是(y₂ - y₁)——那是另一條腿。
- 直線距離是斜邊。
應用畢達哥拉斯定理：
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
就是這樣。距離公式只是穿著坐標幾何偽裝的畢達哥拉斯定理。
自然界中的畢達哥拉斯定理
定理到處都是
畢達哥拉斯定理是所有數學中最實際有用的想法之一。以下是它在現實生活中出現的地方：
導航和GPS ——你的手機使用距離公式計算坐標之間的距離，這正是畢達哥拉斯定理。在小範圍內，緯度和經度形成網格，直線距離是斜邊。
建築和建築 ——每棟建築中的每個直角都使用這個定理檢查過。3-4-5繩拉伸技巧至今仍在建築工地上使用。
螢幕尺寸 ——當電視或手機被宣傳為55英寸螢幕或6.1英寸顯示屏時，該數字是對角線測量。矩形的對角線是由其寬度和高度形成的直角三角形的斜邊。
運動 ——棒球從本壘板到二壘的距離有多遠？基地形成正方形，投擲是對角線——一個畢達哥拉斯問題。