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今天我們將探索所有數學領域中最古老且最強大的想法之一。
它被稱為 平面幾何定理，已經有2500多年歷史：被古代建築師、水手、工程師以及你的手機GPS使用。
這個定理是以 平面幾何定理命名的，該定理是公元前570-495年生活的希臘數學家 平面幾何定理所創。他的追隨者是一群學者，他們相信數字是宇宙的秘密語言。
但這裡有個問題：巴比倫人至少在平面幾何定理出生1000年前就知道這個關係。一個名為 Plimpton 322 的陶片，約於公元前1800年製作，包含了平面幾何定理的三元組：這證明古代美索不達米亞人在希臘人之前就理解了這個模式。
在這堂課結束時，你將能夠使用這個定理來找出缺失的距離、檢查直角以及在日常生活中看到幾何學隱藏。
預熱
一个值得解决的问题
假设你站在湖泊的一边。你可以看到湖泊对面的一棵树。你有一条测量带，但你绝对不想游泳。
什么使得直角三角形特殊？
直角三角形
直角三角形是一种角度为90度的三角形：一个完美的正方形角。
你在任何地方都能看到直角：书的角落、门框的边缘、墙和地板的交叉处。
构成直角的两边被称为 腿。
与直角相对的那条边，长度最长，被称为 斜边。
这里有一个大idea，几千年前就被发现：
a² + b² = c²
其中 a 和 b 是腿,c 是斜边。
用文字来说：在直角三角形上绘制每个边上的一个正方形，两个小正方形的面积之和恰好等于最大的正方形的面积。
视觉证明
看到方形
想象一個直角三角形，直角邊的長度分別為3 & 4。
現在想象在每條邊上畫一個方形：
- 長度為3的直角邊上方形的面積為 3² = 9
- 長度為4的直角邊上方形的面積為 4² = 16
- hypotenuse上方形的面積為 9 + 16 = 25
hypotenuse的長度是25的平方根，它是 5。
所以 hypotenuse的長度是5個單位。這是幾何學中最著名的一個直角三角形：3-4-5。
梯子問題
找到缺少的邊
Pythagorean定理不僅用於找到hypotenuse。你可以重新排列它來找到任何缺少的邊。
要找到直角邊：a² = c² - b²
讓我們試試一個經典的問題。
一個梯子長 10英尺，傾斜著靠在牆上。梯子的底部距離牆面 6英尺。
牆、地面和梯子形成一個直角三角形。梯子是hypotenuse（它是從直角三角形的右角和地面之間的直角邊延伸的最長邊）。
地面距離（6英尺）是其中一條直角邊。梯子接觸到牆面的高度是另一條直角邊：這就是我們需要找的。
著名的三元组
毕达哥拉斯三元组
一个 毕达哥拉斯三元组 是指三个整数的集合，它满足 a² + b² = c²。
以下是最常见的三元组：
- 3, 4, 5：经典的（9 + 16 = 25）
- 5, 12, 13：（25 + 144 = 169）
- 8, 15, 17：（64 + 225 = 289）
建筑师的 3-4-5 规则
木匠和建筑工人每天都在使用 3-4-5 三元组来制作完美的直角。
这是如何工作的：当您需要一个正方形的角时，为一个基础、一个露台或一个篱笆，测量一边 3 英尺，另一边 4 英尺。如果连线之间的斜线是恰好 5 英尺，那么您的角就是一个完美的 90 度。
这个技巧自古埃及人建造金字塔以来就被使用了。他们把做这种事情的人叫做 绳子拉伸者：他们使用由 3, 4 和 5 个单位组成的绳子。
从三角形到坐标
将三角形与坐标几何相连
毕达哥拉斯定理不仅仅存在于几何课堂上，它是坐标平面上距离公式的动力。
这里是连接的地方：如果您想找到两个点之间的距离，可以画一个直角三角形，其中距离是斜边。
假设您有两个点：(x₁, y₁) 和 (x₂, y₂)。
- 他们之间的水平距离是 (x₂ - x₁)：这是一条腿。
- 他们之间的垂直距离是 (y₂ - y₁)：这是一条腿。
- 直线距离是斜边。
应用毕达哥拉斯定理：
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
這就是了。距離公式就是坐標幾何學的迷你版歐幾里得定理。
歐幾里得定理在野外
定理無處不在
歐幾里得定理是所有數學中最實用的一個概念。這裡是它在實際生活中出現的地方：
導航與GPS：你的手機使用距離公式計算座標之間的距離，這個公式就是歐幾里得定理。在小尺度上，緯度和經度形成一個網格，直線距離就是斜邊。
建築與建築師：每個右角度在每個建築中都使用了這個定理。3-4-5的繩子拉直法在現今的建築工地仍然被使用。
螢幕尺寸：當一部電視或手機被宣傳為有55英寸屏幕或6.1英寸顯示，該數字是對角線測量。對角線是一個矩形的斜邊，同時也是由寬度和高度組成的右三角形的斜邊。
運動：從家跑到第二壘的球怎麼樣？基地形成一個方形，投球就是斜邊，Pythagorean問題。