Selamat Datang
Hari ini kita akan menjelajahi salah satu ide tertua dan paling kuat dalam seluruh matematika.
Idea tersebut disebut Teorema Pythagoras, dan telah digunakan selama lebih dari 2.500 tahun: oleh pembangun kuno, pelaut, insinyur, dan bahkan GPS ponsel Anda.
Teorema ini dinamai dari Pythagoras, seorang matematikawan Yunani yang hidup sekitar 570–495 SM. Ia memimpin sebuah komunitas sarjana yang meyakini bahwa angka-angka adalah bahasa rahasia alam semesta.
Tapi hal ini: bangsa Babilonia mengetahui hubungan ini setidaknya 1.000 tahun sebelum Pythagoras lahir. Sebuah loyang tanah liat yang disebut Plimpton 322, yang berasal dari sekitar 1800 SM, mengandung pasangan Pythagoras: bukti bahwa penduduk Mesopotamia kuno memahami pola tersebut sebelum bangsa Yunani.
Setelah menyelesaikan pelajaran ini, Anda akan dapat menggunakan teorema ini untuk menemukan jarak yang hilang, memeriksa sudut siku, dan melihat geometri tersembunyi di kehidupan sehari-hari.
Pemanasan
Masalah yang Layak Dipecahkan
Bayangkan Anda berdiri di satu sisi danau. Anda dapat melihat pohon di sisi lain air, secara langsung melintasi air. Anda memiliki pengukur karet, tetapi Anda pasti tidak ingin berenang.
Apa yang Membuat Segitiga Siku?
Segitiga Siku
Sebuah segitiga siku adalah segitiga yang memiliki satu sudut yang mengukur tepat 90 derajat: sudut persegi yang sempurna.
Anda melihat sudut siku di mana-mana: sudut pojok buku, sisi pintu frame, pertemuan dinding dan lantai.
Dua sisi yang membentuk sudut siku disebut kaki.
Sisi yang berlawanan dengan sudut siku, sisi terpanjang, disebut hipotenusa.
Disini adalah ide besar, yang ditemukan ribuan tahun yang lalu:
a² + b² = c²
di mana a dan b adalah kaki, dan c adalah hipotenusa.
Dalam kata-kata: jika Anda menggambar persegi di setiap sisi segitiga siku, luas dua persegi kecil akan menambahkan luas persegi terbesar.
Bukti Visual
Melihatnya dengan Persegi
Gambarkan segitiga siku dengan panjang kedua kaki 3 & 4.
Kini bayangkan menarik persegi pada setiap sisi:
- Persegi pada kaki panjang 3 memiliki luas 3² = 9
- Persegi pada kaki panjang 4 memiliki luas 4² = 16
- Persegi pada hipotenusa memiliki luas 9 + 16 = 25
Dan apa akar dari 25? Itu adalah 5.
Jadi, panjang hipotenusa adalah 5 unit. Itu adalah segitiga siku yang terkenal di dunia geometri.
Masalah Tangga
Menemukan Sisi yang Hilang
Teorema Pythagoras tidak hanya untuk menemukan hipotenusa. Anda dapat merubahnya untuk menemukan sisi yang hilang apa pun.
Untuk menemukan kaki: a² = c² - b²
Marilah coba masalah klasik.
Tangga panjangnya 10 kaki & menempel di dinding. Jarak dasar tangga dari dinding adalah 6 kaki.
Dinding, lantai, & tangga membentuk segitiga siku. Tangga adalah hipotenusa (itu adalah sisi terpanjang, melengkung dari sudut kanan antara dinding & lantai).
Jarak lantai (6 kaki) adalah satu kaki. Tinggi ke dinding adalah kaki lain: & itulah yang kita perlukan untuk menemukan.
Tripel Terkenal
Tripel Pythagoras
Sebuah tripel Pythagoras adalah himpunan tiga bilangan bulat yang memenuhi persamaan a² + b² = c².
Berikut adalah yang paling umum:
- 3, 4, 5: klasik (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)
Aturan Pembangun 3-4-5
Tukang kayu & pekerja konstruksi menggunakan tripel 3-4-5 setiap hari untuk membuat sudut siku yang sempurna.
Berikut cara kerjanya: jika Anda perlu sudut persegi, untuk fondasi, dek, atau pagar, ukur 3 kaki sepanjang satu sisi & 4 kaki sepanjang sisi lain. Jika jarak diagonal antara dua titik tersebut adalah tepat 5 kaki, sudut Anda adalah 90 derajat yang sempurna.
Trik ini telah digunakan sejak zaman bangsa Mesir kuno yang membangun piramida. Mereka menyebut orang-orang yang melakukan ini pembentang tali: mereka menggunakan tali bertangkai yang diukur dalam satuan 3, 4, & 5.
Dari Segitiga ke Koordinat
Menghubungkan ke Geometri Koordinat
Teorema Pythagoras tidak hanya hidup di kelas geometri: itu adalah mesin di balik formula jarak yang digunakan di bidang koordinat.
Berikut adalah koneksi: jika Anda ingin menemukan jarak antara dua titik, Anda bisa menggarisbawahi segitiga siku di mana jarak adalah hipotenusa.
Misalnya, Anda memiliki dua titik: (x₁, y₁) & (x₂, y₂).
- Jarak horizontal antara mereka adalah (x₂ - x₁): itu salah satu sisi.
- Jarak vertikal antara mereka adalah (y₂ - y₁): itu sisi lain.
- Jarak lurus adalah hipotenusa.
Aplikasikan Teorema Pythagoras:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Itu saja. Rumus jarak adalah Hukum Pythagoras yang mengenakan penampilan disguise geometri koordinat.
Hukum Pythagoras di Dunia Nyata
Teorema Dimana Saja
Hukum Pythagoras adalah salah satu ide yang paling berguna secara praktis dalam matematika. Berikut ini adalah tempat dimana ia muncul di kehidupan sehari-hari:
Navigasi & GPS: Ponsel Anda menghitung jarak antara koordinat menggunakan rumus jarak, yang merupakan Hukum Pythagoras. Pada skala kecil, lintang dan bujur membentuk grid, dan jarak lurus adalah hipotenusa.
Arsitektur & Konstruksi: Setiap sudut siku di setiap bangunan diatur menggunakan teorema ini. Trik melilitkan tali sepanjang 3-4-5 masih digunakan di situs konstruksi hari ini.
Ukuran Layar: Ketika TV atau ponsel diiklankan memiliki layar 55 inci atau tampilan 6,1 inci, angka tersebut adalah pengukuran diagonal. Diagonal dari persegi panjang adalah hipotenusa dari segitiga siku yang terbentuk dari lebarnya dan ketinggiannya.
Olahraga: Berapa jauhnya sebuah bola baseball berjalan dari home plate ke base kedua? Basis membentuk persegi, dan lemparan adalah diagonal, sebuah masalah Pythagoras.