Willkommen
Heute werden wir eine der ältesten & mächtigsten Ideen in der gesamten Mathematik erkunden.
Er wird als der Pythagoreische Lehrsatz bezeichnet & wurde über 2.500 Jahre lang verwendet: von antiken Bauarbeitern, Seefahrern, Ingenieuren & sogar von Ihrem GPS-Telefon.
Der Lehrsatz ist nach Pythagoras benannt, einem griechischen Mathematiker, der um 570–495 v. Chr. gelebt hat. Er führte eine Gemeinschaft von Gelehrten, die glaubten, dass Zahlen der geheime Sprache des Universums waren.
Aber hier ist das Eine: die Babylonier kannten diese Beziehung mindestens 1.000 Jahre vor der Geburt von Pythagoras. Eine Tonziegelei namens Plimpton 322, die auf etwa 1800 v. Chr. datiert, enthält pythagoreische Dreiecke: Beweis dafür, dass die altmesopotamischen Menschen die Muster lange vor den Griechen verstanden haben.
Am Ende dieses Unterrichts werden Sie in der Lage sein, diesen Lehrsatz, um fehlende Entfernungen zu finden, rechte Winkel zu überprüfen & Geometrie in Ihrem alltäglichen Leben zu erkennen.
Aufwärmen
Ein Problem, das gelöst werden sollte
Stellen Sie sich vor, sie stehen an einem Ufer eines Sees. Sie können einen Baum auf der anderen Seite sehen, der direkt über dem Wasser steht. Sie haben einen Maßband, aber sie wollen auf gar keinen Fall schwimmen.
Was macht ein rechtwinkliges Dreieck?
Das rechtwinklige Dreieck
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, das ein Winkel von genau 90 Grad hat: einen perfekten Quadratwinkel.
Sie sehen rechte Winkel überall: den Ecken eines Buches, dem Rand eines Türrahmens, dem Schnittpunkt einer Wand und eines Fußbodens.
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen die Beine.
Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, die längste Seite, heißt die Hypotenuse.
Hier ist die große Idee, die tausende von Jahren alt ist:
a² + b² = c²
wo a und b die Beine sind und c die Hypotenuse.
In Worten: Wenn man Quadrate auf jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zeichnet, ergibt sich der Flächeninhalt der beiden kleineren Quadrate genau zusammen, wie der Flächeninhalt des größten Quadrates.
Visuelles Beweis
Mit Quadraten sehen
Bilden Sie sich ein rechtwinkliges Dreieck vor, dessen Beine eine Länge von 3 & 4 haben.
Stellen Sie sich vor, sie würden einen Quadrat auf jeder Seite zeichnen:
- Das Quadrat auf dem Bein mit einer Länge von 3 hat eine Fläche von 3² = 9
- Das Quadrat auf dem Bein mit einer Länge von 4 hat eine Fläche von 4² = 16
- Das Quadrat auf der Hypotenuse hat eine Fläche von 9 + 16 = 25
Und welche ist die Quadratwurzel von 25? Es ist 5.
Daher beträgt die Länge der Hypotenuse 5 Einheiten. Das ist das berühmteste Dreieck in der Geometrie: das 3-4-5-Rechtwinkel-Dreieck.
Leiterproblem
Die fehlenden Seiten finden
Der Satz des Pythagoras dient nicht nur dazu, die Hypotenuse zu finden. Man kann ihn umstellen, um auch die fehlenden Seiten zu finden.
Um eine Seite zu finden: a² = c² - b²
Lassen Sie uns ein klassisches Problem lösen.
Eine Leiter ist 10 Fuß lang und lehnt sich an eine Wand. Der Abstand der Leiter zum Boden beträgt 6 Fuß.
Die Wand, der Boden und die Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Leiter ist die Hypotenuse (sie ist die längste Seite, die schräg vom rechten Winkel zwischen Wand und Boden abzweigt).
Der Bodenabstand (6 Fuß) ist ein Bein. Die Höhe zur Wand ist das andere Bein: und genau das müssen wir finden.
Berühmte Tripel
Pythagoreische Tripel
Ein Pythagoreisches Tripel ist eine Menge von drei ganzen Zahlen, die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen.
Hier sind die häufigsten:
- 3, 4, 5: das Klassische (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)
Der Bauersatz 3-4-5
Zimmerleute und Bauarbeiter verwenden das Tripel 3-4-5 täglich, um perfekte rechte Winkel zu erstellen.
Hier ist, wie es funktioniert: Wenn Sie einen quadratischen Winkel benötigen, für eine Grundlage, eine Veranda oder einen Zaun, messen Sie 3 Fuß entlang einer Seite und 4 Fuß entlang der anderen. Wenn die Diagonale zwischen diesen beiden Punkten genau 5 Fuß beträgt, ist Ihr Winkel ein perfekter 90 Grad.
Diese Methode wurde seit der Zeit der alten Ägypter verwendet, als sie die Menschen, die dies taten, Seilspanner nannten. Sie verwendeten geflochtene Seile, die in Einheiten von 3, 4 und 5 gemessen wurden.
Von Dreiecken zu Koordinaten
Verbindung zur Koordinatengeometrie
Das Pythagoreische Theorem lebt nicht nur in der Geometrie: Es ist der Motor hinter der Abstandformel, die Sie auf einer Koordinatenebene verwenden.
Hier ist der Zusammenhang: Wenn Sie den Abstand zwischen zwei Punkten finden möchten, können Sie ein rechtes Dreieck zeichnen, bei dem der Abstand die Hypotenuse ist.
Stellen Sie sich zwei Punkte vor: (x₁, y₁) und (x₂, y₂).
- Der horizontale Abstand zwischen ihnen ist (x₂ - x₁): das ist ein Bein.
- Der vertikale Abstand zwischen ihnen ist (y₂ - y₁): das ist das andere Bein.
- Der geradlinige Abstand ist die Hypotenuse.
Anwenden Sie das Pythagoreische Theorem:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Das ist es. Die Abstandformel ist einfach das Pythagoras-Theorem, das in einer Koordinatengeometrie-Verkleidung auftaucht.
Pythagoras-Theorem in der Wildnis
Das Theorem ist überall
Das Pythagoras-Theorem ist eine der nützlichsten Ideen in der gesamten Mathematik. Hier ist, wo es im wirklichen Leben auftritt:
Navigation & GPS: Ihre Smartphone berechnet Entfernungen zwischen Koordinaten mit der Abstandformel, die das Pythagoras-Theorem ist. In kleinem Maßstab bilden Breitengrade und Längengrade eine Gitter, und geradlinige Entfernungen sind Hypotenuesen.
Architektur & Bauwesen: Jeder rechten Winkel in jedem Gebäude wurde mit diesem Theorem geprüft. Das 3-4-5-Rohr-Strecken-Trick wird heute noch auf Baustellen verwendet.
Bildschirmgrößen: Wenn ein Fernseher oder ein Smartphone mit einer 55-Zoll-Bildschirmgröße oder einer 6,1-Zoll-Anzeige beworben wird, ist diese Zahl die diagonale Messung. Die Diagonale eines Rechtecks ist die Hypotenuse des rechten Dreiecks, das durch seine Breite und Höhe gebildet wird.
Sport: Wie weit flog ein Baseball vom Homeplate zum zweiten Base? Die Bäse bilden ein Quadrat und der Wurf ist die Diagonale, ein pythagoreisches Problem.