Willkommen
Heute werden wir eine der ältesten & mächtigsten Ideen in der gesamten Mathematik erkunden.
Es wird der Pythagoreische Lehrsatz genannt & wurde seit über 2.500 Jahren verwendet: von antiken Bauern, Seefahrern, Ingenieuren & sogar von Ihrem Handys GPS.
Der Lehrsatz ist nach Pythagoras benannt, einem griechischen Mathematiker, der um 570–495 v. Chr. gelebt hat. Er führte eine Gemeinschaft von Gelehrten, die glaubten, dass Zahlen der geheime Sprache des Universums waren.
Aber hier ist das Eine: die Babylonier kannten diese Beziehung mindestens 1.000 Jahre vor der Geburt von Pythagoras. Eine Tonziegelei namens Plimpton 322, die um 1800 v. Chr. datiert, enthält pythagoreische Dreiecke: Beweis dafür, dass die altmesopotamischen Menschen das Muster lange vor den Griechen verstanden haben.
Am Ende dieser Lektion werden Sie in der Lage sein, diesen Lehrsatz, um fehlende Entfernungen zu finden, rechtwinklige Winkel zu überprüfen & Geometrie in Ihrem Alltag zu entdecken.
Aufwärmsatz
Ein Problem, das gelöst werden verdient
Stellen Sie sich vor, sie stehen an einem Ufer eines Sees. Sie können einen Baum auf der anderen Seite sehen, der direkt über dem Wasser steht. Sie haben einen Maßband, aber sie wollen auf gar keinen Fall schwimmen.
Was macht ein rechtwinkliges Dreieck?
Das rechtwinklige Dreieck
Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, das einen Winkel von genau 90 Grad hat: ein perfektes Quadrateneck.
Rechte Winkel gibt es überall: die Ecke eines Buches, der Rand eines Türsturzes, der Schnittpunkt von Wand & Boden.
Die beiden Seiten, die den rechten Winkel bilden, heißen die Beine.
Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, die längste Seite, heißt die Hypotenuse.
Hier ist die große Idee, die vor Tausenden von Jahren entdeckt wurde:
a² + b² = c²
wo a und b die Beine sind & c die Hypotenuse.
In Worten: Wenn man Quadrate auf jeder Seite eines rechtwinkligen Dreiecks zeichnet, ergibt sich der Flächeninhalt der beiden kleineren Quadrate genau zusammen, wie der Flächeninhalt des größten Quadrates.
Visuelles Beweis
Das Sehen mit Quadraten
Bilden Sie sich ein rechtwinkliges Dreieck vor, dessen Beine eine Länge von 3 & 4 haben.
Stellen Sie sich vor, sie würden einen Quadrat auf jeder Seite zeichnen:
- Das Quadrat auf dem Bein mit einer Länge von 3 hat eine Fläche von 3² = 9
- Das Quadrat auf dem Bein mit einer Länge von 4 hat eine Fläche von 4² = 16
- Das Quadrat auf der Hypotenuse hat eine Fläche von 9 + 16 = 25
Und welche ist die Quadratwurzel von 25? Es ist 5.
Daher ist die Hypotenuse 5 Einheiten lang. Das ist das berühmteste Dreieck in der Geometrie.
Leiterproblem
Die Suche nach vermissten Seiten
Der Satz des Pythagoras dient nicht nur dazu, die Hypotenuse zu finden. Man kann ihn umstellen, um auch jede vermisste Seite zu finden.
Um eine Bein zu finden: a² = c² - b²
Lassen Sie uns ein klassisches Problem lösen.
Eine Leiter ist 10 Fuß lang und lehnt sich an eine Wand. Der Abstand der Leiter zum Boden beträgt 6 Fuß.
Die Wand, der Boden und die Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Leiter ist die Hypotenuse (sie ist die längste Seite, die schräg vom rechten Winkel zwischen Wand und Boden abzweigt).
Der Bodenabstand (6 Fuß) ist ein Bein. Die Höhe zur Wand ist die andere Seite: und genau diese müssen wir finden.
Berühmte Tripel
Pythagoreische Tripel
Ein Pythagoreisches Tripel ist eine Menge von drei ganzen Zahlen, die die Gleichung a² + b² = c² erfüllen.
Hier sind die am häufigsten vorkommenden:
- 3, 4, 5: das Klassische (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)
Der Bauersatz 3-4-5
Tischler und Bauarbeiter verwenden das Tripel 3-4-5 täglich, um perfekte rechte Winkel zu erstellen.
So funktioniert es: Wenn Sie einen quadratischen Winkel benötigen, für eine Grundlage, eine Veranda oder einen Zaun, messen Sie 3 Fuß entlang einer Seite und 4 Fuß entlang der anderen. Wenn der Diagonale zwischen diesen beiden Punkten genau 5 Fuß beträgt, ist Ihr Winkel ein perfekter 90 Grad.
Diese Methode wurde seit der Zeit der alten Ägypter verwendet, als man die Menschen, die dies taten, Seilspanner nannte. Sie verwendeten geflochtene Seile, die in Einheiten von 3, 4 und 5 gemessen wurden.
Von Dreiecken zu Koordinaten
Verbindung zur Koordinatengeometrie
Das Pythagoras-Theorem lebt nicht nur in der Geometrie: Es ist der Motor hinter der Abstandformel, die Sie auf einer Koordinatenebene verwenden.
Hier ist der Zusammenhang: Wenn Sie den Abstand zwischen zwei Punkten finden möchten, können Sie ein rechtes Dreieck zeichnen, bei dem der Abstand die Hypotenuse ist.
Stellen Sie sich zwei Punkte vor: (x₁, y₁) und (x₂, y₂).
- Der horizontale Abstand zwischen ihnen ist (x₂ - x₁): das ist ein Bein.
- Der vertikale Abstand zwischen ihnen ist (y₂ - y₁): das ist das andere Bein.
- Der geradlinige Abstand ist die Hypotenuse.
Wenden Sie das Pythagoras-Theorem an:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Das ist es. Die Abstandformel ist einfach das Pythagoras-Theorem, das in einer Koordinatengeometrie verkleidet ist.
Das Pythagoras-Theorem in der Wildnis
Das Theorem ist überall
Das Pythagoras-Theorem ist eine der nützlichsten Ideen in der gesamten Mathematik. Hier ist, wo es im echten Leben auftritt:
Navigation & GPS: Ihre Handytreiber berechnen Entfernungen zwischen Koordinaten mit der Abstandformel, die das Pythagoras-Theorem ist. In kleinem Maßstab bilden Breitengrade und Längengrade eine Gitter, und geradlinige Entfernungen sind Hypotenuesen.
Architektur & Bauwesen: Jeder rechten Winkel in jedem Gebäude wurde mit diesem Theorem geprüft. Das 3-4-5-Rohrspanntrick wird heute noch auf Baustellen verwendet.
Bildschirmgrößen: Wenn ein Fernseher oder ein Handy mit einer 55-Zoll-Bildschirmgröße oder einer 6,1-Zoll-Anzeige beworben wird, ist diese Zahl die diagonale Messung. Die Diagonale eines Rechtecks ist die Hypotenuse des durch seine Breite und Höhe gebildeten rechtwinkligen Dreiecks.
Sport: Wie weit flog ein Baseball vom Homeplate zum zweiten Base? Die Basis bildet ein Quadrat, und die Wurfweite ist die Diagonale, ein pythagoreisches Problem.