웰컴
오늘 우리는 모든 수학에서 가장 오래되고 강력한 아이디어之一을 탐구할 것입니다.
이것을 피타고라스 정리라고 하며, 2500년 이상 사용되어 오고 있습니다: 고대 건축가, 선원, 공학자, 심지어 휴대전화의 GPS까지.
피타고라스라는 그리스 수학자에게 이 정리가 이름이 붙었습니다. 그는 기원전 570년경에 생존해 existed한 것으로 추정되며, 수학자들의 공동체를 이끌었습니다. 그들은 숫자가 우주의 비밀 언어라고 믿었습니다.
하지만 여기 있다면: 바빌로니아인들은 피타고라스가 태어나기 최소 1000년 전에 이 관계를 알고 있었다. 플림프턴 322번이라고 하는 점토 판에는 기원전 1800년경에 작성된 피타고라스 삼중을 포함하고 있으며, 이로 인해 고대 메소포타미아인들이 그리스인보다 오래 전에 패턴을 이해했다는 것을 입증합니다.
이 강의를 마치면 이 정리를 사용하여 누락된 거리를 찾을 수 있으며, 일상생활에 숨어 있는 기하학을 확인할 수 있습니다.
워밍업
문제에 대한 가치
이미지를 상상해보세요. 당신은 호수의 한 쪽에 서 있습니다. 당신은 물 위에 있는 트리を見ることができます. 당신은 테이프 측정을 가지고 있지만, 물을 헤엄치고 싶지 않습니다.
직각 삼각형이란 무엇인가요?
직각 삼각형
직각 삼각형은 90도 정확히 한 각을 가진 삼각형입니다: 완벽한 정사각형 모서리입니다.
직각은 여기서 거쳐가는 곳에 있습니다: 책의 모서리, 문짝의 가장자리, 벽과 바닥의 교차점.
직각을 형성하는 두 변은 변이라고 합니다.
직각과 반대쪽에 있는, 가장 긴 변은 가장 긴 변 또는 이등변이라고 합니다.
여기 수천 년 동안 발견된 큰 아이디어입니다:
a² + b² = c²
여기서 a와 b는 변이고, c는 이등변입니다.
단어로 표현하면: 직각 삼각형에서 각 변에 사각형을 그린다면, 두 작은 사각형의 넓이 정확히 가장 큰 사각형의 넓이와 합계됩니다.
시각적 증명
제곱수를 사용하여 이해하기
직각 삼각형의 각 변에 제곱수를 그립니다.
3-4-5 직각 삼각형의 그림과 공식, 그리고 일반적인 직각 삼각형들의 표를 포함한 그림
길이가 3인 변에 제곱수를 그린다고 상상해보세요.
다음으로, 길이가 4인 변에도 제곱수를 그립니다.
길이가 3인 변의 제곱수의 면적은 3² = 9입니다
길이가 4인 변의 제곱수의 면적은 4² = 16입니다
직각의 제곱수는 총 면적이 9 + 16 = 25입니다
제곱근 25는 5입니다
따라서 직각의 길이는 5 단위입니다. 이것이 기하학에서 가장 유명한 직각 삼각형입니다.
레인저 문제
누락된 변 찾기
직각 삼각형의 직각을 찾는 것 외에도 피타고라스 정리를 사용할 수 있습니다.
변을 찾으려면 a² = c² - b²입니다
기본 문제로 시도해봅시다.
梯子는 10 피트로, 벽에 기울어져 있습니다.梯子底部은 6 피트 떨어져 있습니다.
벽, 바닥, 그리고梯子는 직각 삼각형을 형성합니다.梯子는 직각에서 오른쪽 각도 사이에 있는 가장 긴 변입니다.
바닥 거리(6 피트)는 한 변입니다. 높이는 다른 변: 그것을 찾을 필요가 있습니다.
유명한 삼조
피타고라스 삼조
피타고라스 삼조는 a² + b² = c²를 만족하는 세 정수의 집합입니다.
다음은 가장 흔한 것들입니다:
- 3, 4, 5: 기본적인 것 (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)
건축가의 3-4-5 규칙
도장꾼들과 건설 노동자들은 일상적으로 3-4-5 삼조를 사용하여 완벽한 직각을 만듭니다.
이것은 어떻게 작동하는가: 직각 모를 만들고자 하면 한 쪽에서 3피트를, 다른 쪽에서 4피트를 측정한다. 두 점 사이의 대각선이 정확히 5피트라면, 당신의 모서지는 완벽한 90도입니다.
이 트릭은 고대 이집트인들이 피라미드를 짓기 시작한 이래로 사용되어 왔습니다. 그들은 이러한 일을 하는 사람들을 ropes stretchers라고 불렀습니다. 그들은 3, 4, 및 5 단위로 측정된 끈을 사용했습니다.
삼각형에서 좌표계로
좌표기하와의 연결
피타고라스 정리는 기하학 수업에서만 사용되는 것은 아닙니다. 좌표평면에서 사용하는 거리 공식의 엔진입니다.
다음은 연결입니다: 두 점 사이의 거리를 찾고자 하면, 거리가 직선의 гипotenuse가 되는 직각삼각형을 그릴 수 있습니다.
두 점 (x₁, y₁) 및 (x₂, y₂)이 있다고 가정합시다.
- 그들 사이의 수평 거리는 (x₂ - x₁)입니다: 그것이 하나의 대각선입니다.
- 그들 사이의 수직 거리는 (y₂ - y₁)입니다: 그것이 다른 대각선입니다.
- 직선 거리는 гипotenuse입니다.
피타고라스 정리를 적용합니다:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
그것이다. 거리 공식은 단순히 코디네이트 기하학의 가면을 쓴 피타고라스 정리이다.
피타고라스 정리와의 만남
정리는 어디서나
피타고라스 정리는 수학에서 가장 실제적으로 유용한 아이디어 중 하나입니다. 실제 생활에서 다음과 같은 곳에서 나타납니다:
항법 & GPS: 당신의 휴대폰은 거리를 좌표 사이의 거리로 계산하는데, 거리 공식은 피타고라스 정리입니다. 작은 규모에서는 위도와 경도 그리드가 형성되고 직선 거리는 피타고라스 정리의 가Hipotenuse입니다.
건축 & 건설: 모든 직각은 이 정리로 확인되었습니다. 3-4-5 실린더 뻗는 트릭은 오늘날 건설 현장에서도 사용되고 있습니다.
모니터 크기: TV 또는 휴대폰이 55인치 화면 또는 6.1인치 디스플레이로 광고될 때, 그 숫자는 화면의 대각선 측정입니다. 모니터의 너비와 높이로 이루어진 직사각형의 대각선은 피타고라스 정리의 가Hipotenuse입니다.
스포츠: 홈 플레이트에서 두 번째 베이스까지 공이 떨어지는 거리는 얼마인가요? 베이스는 사각형을 형성하고, 공의 투구는 피타고라스 문제의 대각선입니다.