웰컴
오늘 우리는 수학의 모든 분야에서 가장 오래되고 강력한 아이디어 중 하나를 탐험할 것입니다.
피타고라스 정리라고 불리는 이 아이디어는 2500년 이상 동안 사용되어 고대 건축가, 선원, 공학자, 심지어 휴대전화 GPS까지 다양한 분야에서 활용되었습니다.
이 정리는 피타고라스라는 그리스 수학자가 기원전 570년에서 기원전 495년에 살았던 사람의 이름을 따서 명명되었습니다. 그는 숫자가 우주의 비밀 언어라고 믿는 학자들의 공동체를 이끌었습니다.
하지만 여기 있는 것은: 바빌로니아인들은 피타고라스가 태어나하기 최소 1000년 전에 이 관계를 알고 있었음을 보여주는 점입니다. 플리몬트 322라는 이름의 점토 판은 기원전 1800년경으로 거슬러 올라갑니다. 이 판에는 피타고라스 삼중으로 알려진 관계가 포함되어 있어 고대 메소포타미아인들이 그리스인들보다 오래 전에 이 패턴을 이해했다는 것을 증명합니다.
이 강의를 마치면 이 정리를 사용하여 누락된 거리를 찾고, 직각을 확인하고, 일상생활에 숨어 있는 기하학을 발견할 수 있습니다.
워밍업
문제 가치
이미지에서 호수 한 쪽에 서 있습니다. 다른 쪽에 있는 나무를 물가 바로 가로질러 볼 수 있습니다. 테이프 측정기를 가지고 있지만 물에 들어가고 싶지 않습니다.
직각 삼각형이란 무엇이 만드는가?
직각 삼각형
직각 삼각형은 90도 정확히 한 각을 가지고 있는 삼각형입니다: 완벽한 정사각형 모서리입니다.
직각은 여기서 거쳐가는 곳에 있습니다: 책의 모서리, 문짝의 가장자리, 벽과 바닥의 교차점.
직각을 만드는 두 변은 변이라고 하며, 가장 긴 변은 직각에서 멀리 있는 변, 즉 가장 긴 변이라고 합니다.
이 큰 아이디어를 1000년 이상 전에 발견했습니다:
a² + b² = c²
여기 a와 b는 변이고, c는 가장 긴 변입니다.
말 그대로: 직각 삼각형에 각 변에 사각형을 그려보면, 두 작은 사각형의 면적이 정확히 가장 큰 사각형의 면적과 합계됩니다.
직각 삼각형에 대한 시각적 증거
직각 삼각형 시각적 증거
사각형으로 보는 것
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/static/diagrams/pythagorean_345_triangle.svg
3과 4의 길이를 가진 대각선이 있는 오른쪽 삼각형을 상상해보세요.
각각의 변에 사각형을 그려보세요:
- 3의 길이를 가진 대각선에 있는 사각형의 면적은 3² = 9입니다
- 4의 길이를 가진 대각선에 있는 사각형의 면적은 4² = 16입니다
- 가운데 꼭짓점에 있는 사각형의 면적은 9 + 16 = 25입니다
25의 제곱근은 5입니다
그러므로 가운데 꼭짓점의 길이는 5 단위입니다. 이 것이 모든 기하학에서 가장 유명한 3-4-5 오른쪽 삼각형입니다.
등산 문제
누락된 변 찾기
피타고라스 정리를 찾을 때만 사용하지 않습니다. 이를 재배치하여 누락된 변을 찾을 수도 있습니다.
누락된 대각선 찾기: a² = c² - b²
기본 문제를 시도해 보겠습니다.
梯子는 10 피트로, 벽에 기대어 있습니다.梯子的 기저는 6 피트 떨어져 있습니다.
벽, 바닥 및梯子가 오른쪽 삼각형을 형성합니다.梯子는 가운데 꼭짓점(오른쪽 각도에서 가장 긴 변)을 형성합니다.
바닥 거리(6 피트)는 하나의 대각선입니다. 높이는 다른 대각선입니다: 그 값을 찾을 필요가 있습니다.
명문 트리플
피타고라스 트리플
피타고라스 트리플은 a² + b² = c²를 만족하는 세 개의 정수를 의미합니다.
다음은 가장 흔한 것들입니다:
- 3, 4, 5: 기본적인 것 (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)
건축가의 3-4-5 규칙
조리공과 건축 노동자들은 일상적으로 3-4-5 트리플을 사용하여 완벽한 직각을 만듭니다.
다음은 어떻게 작동하는지 설명합니다: 만약 직사각형 모서리를 만들 필요가 있다면, 한 쪽에서 3피트를 측정하고 다른 쪽에서 4피트를 측정합니다. 두 점 사이의 대각선이 정확히 5피트라면, 모서리는 완벽한 90도입니다.
이 트릭은 고대 이집트인들이 피라미드를 건축할 때부터 사용되어 왔습니다. 그들은 이 일을 하는 사람들을 ropes stretchers라고 불렀습니다. 그들은 3, 4, 및 5 단위로 측정된 끈을 사용했습니다.
삼각형에서 좌표계로
좌표기하와의 연결
피타고라스 정리는 기하학 수업에서만 사용되는 것이 아니라 좌표평면에서 사용되는 거리 공식의 엔진입니다.
다음은 연결입니다: 두 점 사이의 거리를 찾고 싶다면 직사각형의 대각선으로 삼각형을 그릴 수 있습니다.
두 점이 있다고 가정합니다: (x₁, y₁) & (x₂, y₂).
- 그들 사이의 수평 거리는 (x₂ - x₁)입니다: 그것이 하나의 무게.
- 그들 사이의 수직 거리는 (y₂ - y₁)입니다: 그것이 다른 무게.
- 직선 거리는 대각선입니다.
피타고라스 정리를 적용합니다:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
그것이다. 거리의 공식은 단순히 코디네이트 기하학의 가면을 쓴 피타고라스 정리이다.
피타고라스 정리와의 만남
정리, 어디에도 나타나지 않아요
피타고라스 정리는 수학에서 가장 실제적으로 유용한 아이디어 중 하나입니다. 여기서는 실제 생활에서 나타나는 곳입니다:
항법 및 GPS: 당신의 휴대폰은 좌표 간 거리를 계산하는데 거리 공식, 즉 피타고라스 정리를 사용합니다. 작은 규모에서 위도와 경도는 직선 거리를 이등변 삼각형의 가hypotenuse를 형성합니다.
건축 및 건설: 모든 직각은 이 정리로 확인되었습니다. 3-4-5 실린더 뻗는 트릭은 오늘날 건설 현장에서도 사용되고 있습니다.
모니터 크기: TV 또는 휴대폰이 55인치 화면 또는 6.1인치 디스플레이로 광고될 때, 그 숫자는 대각선 측정입니다. 대각선은 너비와 높이의 오른쪽 삼각형을 형성하는 직선의 가hypotenuse입니다.
스포츠: 홈 플레이트에서 두 번째 베이스까지 공이 얼마나 멀리 가나요? 베이스는 사각형을 형성하고, 던지는 것은 직선의 가hypotenuse, 피타고라스 문제입니다.