Hoş Geldiniz
Bugün, matematik alanındaki en eski ve en güçlü fikirlerden birini keşfedeceğiz.
Bu teorinin adı Pitagor Teoremi ve 2.500 yıldan fazla süredir kullanılmıştır: eski yapımcılar, denizciler, mühendisler ve hatta telefonunuzun GPS'i tarafından kullanılmıştır.
Tarih 570-495 öncesinde yaşayan Pitagoras adında bir Yunan matematikçiden kaynaklanıyor. O, sayıların evrenin gizli dilini düşünen bir dizi bilgeliği yönetti.
Ancak burada önemli bir şey var: Babililer, Pitagoras'ın doğumundan en az 1000 yıl önce bu ilişkiyi biliyorlardı. Plimpton 322 adlı bir tuğla, yaklaşık 1800 öncesinde tarihleniyor ve Pitagor üçlüsü içeriyor: Bu, Mezopotamyalıların uzun Önceden Yunanlılar tarafından keşfedilen deseni anladığını kanıtlıyor.
Bu dersin sonunda, bu teoremi kullanarak eksik mesafeleri bulabileceksiniz, doğru açıları kontrol edebilir ve günlük hayatın her yerinde geometri görebilirsiniz.
Sıcaklık Hazırlık
Çözülmesi Değerli Bir Sorun
Bir gölün bir tarafında duruyorsunuz. Su üzerinde doğrudan karşıya bir ağaç görüyorsunuz. Bir ölçüm bantınız var, ama kesinlikle yüzmek istemiyorsunuz.
Doğru Üçgen Nedir?
Doğru Üçgen
Doğru bir üçgen, tam olarak 90 derece ölçüsünde bir açısı olan ve mükemmel bir kare köşesi olan bir üçgendir.
Doğru açıları her yerde görürsünüz: bir kitabın köşesi, bir kapı çerçevesinin kenarı, bir duvarın ve zeminin kesiştiği yer.
Doğru açıyı oluşturan iki kenar, bacalar olarak adlandırılır.
Doğru açının karşısında, en uzun kenar, hipotenüs olarak adlandırılır.
Büyük fikir, binlerce yıl önce keşfedildi:
a² + b² = c²
burada a ve b bacalar ve c hipotenüstür.
Sözlü olarak: doğru bir üçgende, iki küçük karenin alanının, en büyük karenin alanına eşit olduğunu belirten bir şey var.
Görsel İspat
Karelerle Görüntülemek
3 ve 4 uzunluğunda bacaklara sahip bir sağ triangle düşünün.
Şimdi her kenara bir kare çizinin:
- 3 uzunluğunda bir baca üzerinde olan karenin alanı 3² = 9
- 4 uzunluğunda bir baca üzerinde olan karenin alanı 4² = 16
- Hipotenüs üzerinde olan karenin alanı 9 + 16 = 25
Ve 25'in kökü nedir? 5'tir.
O yüzden hipotenüs 5 birim uzunluktadır. Bu, tüm geometrideki en ünlü olan: 3-4-5 sağ triangle'dır.
Merdiven Sorunu
Kayıp Kenarlar Bulma
Pythagorean Teoremi sadece hipotenüs bulmak için değil, herhangi bir eksik kenarı bulmak için de kullanılabilir. Denklemi yeniden düzenleyebilirsiniz.
Bir baca için: a² = c² - b²
Klasik bir soruyu deneyelim.
Merdiven 10 feet uzunluğunda ve bir duvara dayanmaktadır. Merdivenin tabanı duvara 6 feet uzaklıkta.
Duvar, zemin ve merdiven bir doğru triangle oluşturur. Merdiven hipotenüs (en uzun kenar, doğru triangle'ın sağ tarafında duvar ve zemin arasındaki açının karşı tarafında)dir.
Zemin uzaklığı (6 feet) bir bacadır. Duvara olan yükseklik de diğer bacadır ve bulmamız gereken şeydir.
Ünlü Üçgünlükler
Pythagorean Üçgünlükler
Bir Pythagorean üçgeni, a² + b² = c² formülünü karşılayan üç tam sayıdır.
En yaygın olanlar şunlardır:
- 3, 4, 5: klasik (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)
Yapımcıların 3-4-5 Kuralı
Carpenterler ve inşaat çalışanları her gün 3-4-5 üçgenini kullanır ve mükemmel dik açılar oluştururlar.
İşlem şu şekildedir: eğer kare bir köşe yapmak isterseniz, bir kenarda 3 feet, diğerinde 4 foot ölçün. Bu iki noktayı bağlayan dikey mesafe eğer 5 feetse, köşeünüz mükemmel 90 derece olacaktır.
Bu trik, antik Mısır'da piramitler inşa eden insanlar tarafından kullanılmıştır. Bu insanlara ip germeçiler denirdi: 3, 4 ve 5 birimlik düğüm ip kullanarak bu işi yapıyorlardı.
Üçgenlerden Koordinatlarına
Koordinat Cebirine Bağlantı
Pythagorean Teoremi sadece geometri sınıflarında değil, koordinat düzleminde kullanılan mesafe formülünün motoru olarak çalışır.
Buradaki bağlantı: iki nokta arasındaki mesafeyi bulmak isterseniz, doğru üçgeni çizebilirsiniz ve mesafe hipotenüs olacaktır.
İki nokta var: (x₁, y₁) & (x₂, y₂).
- Aralarındaki yatay mesafe (x₂ - x₁): bir kol.
- Aralarındaki dikey mesafe (y₂ - y₁): diğer kol.
- Doğru çizgi mesafesi hipotenüs.
Pythagorean Teoremini uygulayın:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Bitti. Uzaklık formülü, koordinat-geometri giysisi olan Pythagorean Teoremi'dir.
Teoremin Vahşi Yaşamında
Teorem Her Yerdedir
Pythagorean Teoremi, matematikteki en pratik yararlı fikirlerden biridir. Burada gerçek hayatta ne kadar ortaya çıktığını görelim:
Navigasyon & GPS: Cihazınız, koordinatlar arasındaki mesafeleri, uzaklık formülünü kullanarak hesaplar. Küçük ölçekte, enlem ve boylam bir grid oluşturur ve doğrudan mesafeler hipotenüslerdir.
Mimarlık & İnşaat: Her doğru açı, bu teoreme dayanarak kontrol edilmiştir. İnşaat alanlarında hala 3-4-5 ipi kullanarak kullanılır.
Ekran Boyutları: Bir televizyon veya telefonun 55 inç veya 6.1 inç ekranlı olduğu söylenir: bu sayı, genişlik ve yükseklik arasındaki doğru üçgenin hipotenüsüdür.
Sporlar: Ev tabancasından ikinci tabancaya ne kadar mesafe gidiyor? Tabancalar bir dikdörtgen oluşturur ve atış, bir Pythagorean problemidir.