Chào mừng
Hôm nay chúng ta sẽ khám phá một trong những ý tưởng cổ nhất & mạnh mẽ nhất trong toàn bộ toán học.
Công thức này được gọi là Định lý Pythagoras, & nó đã được sử dụng hơn 2.500 năm: bởi những nhà xây dựng cổ đại, thuyền viên, kỹ sư, & thậm chí GPS trên điện thoại của bạn.
Định lý này được đặt tên theo Pythagoras, một nhà toán học Hy Lạp sinh sống vào khoảng 570-495 TCN. Anh ta lãnh đạo một cộng đồng nhà học giả tin rằng con số là ngôn ngữ bí mật của vũ trụ.
Nhưng điều này là: người Babilonia đã biết mối quan hệ này ít nhất 1.000 năm trước khi Pythagoras sinh ra. Một chiếc đĩa gốm gọi là Plimpton 322, có tuổi đời khoảng 1800 TCN, chứa các cặp số Pythagoras: chứng minh rằng người Mesopotamia cổ đại hiểu mẫu hình lâu trước Hy Lạp.
Sau khi học xong bài này, bạn sẽ có thể sử dụng định lý này để tìm khoảng cách thiếu, kiểm tra góc vuông & thấy hình học xuất hiện trong cuộc sống hàng ngày.
Nội dung mở đầu
Một vấn đề đáng giá
Hãy tưởng tượng bạn đang đứng ở một bên hồ nước. Bạn có thể nhìn thấy một cây trên bên kia, trực tiếp qua nước. Bạn có một thước đo, nhưng bạn chắc chắn không muốn bơi.
Điều gì làm cho một tam giác vuông?
Tam giác vuông
Một tam giác vuông là một tam giác có một góc bằng 90 độ: một góc vuông hoàn hảo.
Bạn thấy góc vuông ở mọi nơi: góc của một cuốn sách, cạnh của khung cửa, nơi giao nhau của một bức tường & sàn nhà.
Hai cạnh tạo thành góc vuông được gọi là cánh.
Cạnh đối diện với góc vuông, cạnh dài nhất, được gọi là hypothenuse.
Đó là ý tưởng lớn, được khám phá hàng nghìn năm trước:
a² + b² = c²
trong đó a & b là các cánh, & c là hypothenuse.
Trong lời nói: nếu bạn vẽ một hình vuông trên mỗi cạnh của một tam giác vuông, diện tích của hai hình vuông nhỏ cộng lại bằng diện tích của hình vuông lớn.
Bằng chứng hình ảnh
Nhìn thấy với Hình vuông
Đồ họa một tam giác vuông có chiều dài của hai chân là 3 & 4.
Bây giờ hãy tưởng tượng vẽ một hình vuông trên mỗi cạnh:
- Hình vuông trên chân có chiều dài 3 có diện tích là 3² = 9
- Hình vuông trên chân có chiều dài 4 có diện tích là 4² = 16
- Hình vuông trên hypotenuse có diện tích là 9 + 16 = 25
Và căn bậc hai của 25 là 5.
Vậy hypotenuse dài 5 đơn vị. Đây là tam giác vuông 3-4-5: cái nổi tiếng nhất trong toàn bộ hình học.
Vấn đề Xà Gồ
Tìm Cạnh Thiếu
Định lý Pythagorean không chỉ dùng để tìm hypotenuse. Bạn có thể sắp xếp lại để tìm bất kỳ cạnh thiếu nào.
Để tìm chân: a² = c² - b²
Hãy thử một vấn đề cổ điển.
Một xà gồ dài 10 feet và dựa vào bức tường. Cạnh dưới của xà gồ cách bức tường 6 feet.
Bức tường, mặt đất và xà gồ tạo thành một tam giác vuông. Xà gồ là hypotenuse (là cạnh dài nhất, nghiêng từ góc vuông giữa bức tường và mặt đất).
Cánh tay chân (6 feet) là một chân. Chiều cao lên bức tường là chân còn lại: và đó là điều chúng ta cần tìm.
Cặp Số Nổi Tiếng
Cặp Số Pythagoras
Một cặp số Pythagoras là một tập hợp ba số nguyên tố đáp ứng điều kiện a² + b² = c².
Dưới đây là những cặp số phổ biến nhất:
- 3, 4, 5: tiêu chuẩn (9 + 16 = 25)
- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)
- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)
Quy tắc 3-4-5 của Người Thợ
Người thợ gỗ và công nhân xây dựng sử dụng cặp số 3-4-5 mỗi ngày để tạo ra các góc vuông hoàn hảo.
Dưới đây là cách thức hoạt động: khi bạn cần một góc vuông hoàn hảo, cho một góc nền, một ban công hoặc một hàng rào, đo 3 feet dọc theo một cạnh và 4 feet dọc theo cạnh khác. Nếu độ dài chéo giữa hai điểm đó là chính xác 5 feet, góc của bạn sẽ là một góc vuông hoàn hảo 90 độ.
Kỹ thuật này đã được sử dụng từ thời người Ai Cập xây dựng các kim tự tháp. Họ gọi những người thực hiện công việc này là người căng dây: họ sử dụng sợi dây có nút có đơn vị đo là 3, 4 và 5 feet.
Từ Tam Giác đến Tọa Độ
Liên Kết với Hình Học Tọa Độ
Công thức Pythagorean không chỉ sống sót trong lớp hình học: nó là động cơ đằng sau công thức khoảng cách mà bạn sử dụng trên mặt phẳng tọa độ.
Dưới đây là sự liên kết: nếu bạn muốn tìm khoảng cách giữa hai điểm, bạn có thể vẽ một tam giác vuông với khoảng cách là hypotenuse.
Giả sử bạn có hai điểm: (x₁, y₁) và (x₂, y₂).
- Khoảng cách nằm ngang giữa chúng là (x₂ - x₁): đó là một cạnh.
- Khoảng cách dọc giữa chúng là (y₂ - y₁): đó là cạnh kia.
- Khoảng cách thẳng hàng là hypotenuse.
Áp dụng Công thức Pythagorean:
d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)
Đó là tất cả. Công thức khoảng cách là đơn giản là Định lý Pythagoras đội một chiếc áo giả tọa độ.
Định lý Pythagoras trong tự nhiên
Định lý ở khắp nơi
Định lý Pythagoras là một trong những ý tưởng có tính thực dụng cao nhất trong toàn bộ toán học. Đây là nơi nó xuất hiện trong cuộc sống thực:
Đo lường & GPS: Điện thoại của bạn tính khoảng cách giữa các tọa độ sử dụng công thức khoảng cách, đó là Định lý Pythagoras. Ở quy mô nhỏ, vĩ độ và kinh độ tạo thành một lưới, và khoảng cách thẳng hàng là hypotenuse.
Kiến trúc & Xây dựng: Mỗi góc vuông trong mọi tòa nhà đã được kiểm tra bằng định lý này. Thước dây 3-4-5 vẫn được sử dụng trên các công trường xây dựng ngày nay.
Kích thước màn hình: Khi một TV hoặc điện thoại được quảng cáo có kích thước màn hình là 55 inch hoặc 6.1 inch, con số đó là measurement chéo. Chéo của một hình chữ nhật là hypotenuse của tam giác vuông được hình thành bởi chiều rộng và chiều cao.
Thể thao: Khoảng cách mà một quả bóng baseball di chuyển từ sân nhà đến sân thứ hai là bao nhiêu? Các chân đường tròn tạo thành một hình vuông, và cú ném là hypotenuse, một vấn đề Pythagoras.