nu

guest
1 / ?
back to lessons

Добро пожаловать

Сегодня мы рассмотрим одну из древнейших и самых мощных идей во всей математике.

Её называют Пифагоров теоремой, и она использовалась более 2500 лет: древними строителями, мореплавателями, инженерами и даже вашим GPS.

Теорему дал имя Пифагор, греческий математик, живший около 570–495 до н.э. Он возглавлял общину ученых, которые верили, что числа - это тайный язык Вселенной.

Но вот что интересно: бабилоняне знали эту связь хотя бы 1000 лет до рождения Пифагора. Глинаяя табличка под названием Plimpton 322, датируемая примерно 1800 годом до н.э., содержит Пифагоровы тройки: это доказательство того, что древние месопотамцы понимали этот шаблон задолго до греков.

К концу этого урока вы сможете использовать эту теорему для нахождения отсутствующих расстояний, проверки прямых углов и обнаружения геометрии в повседневной жизни.

Подготовка

Проблема, достойная решения

Представьте, что вы стоите на одном берегу озера. Вы видите дерево на другом берегу, прямо через воду. У вас есть метка, но вы точно не хотите плавать.

Как бы вы измерить расстояние через озеро, не пересекая его? Подумайте творчески: нет единственного правильного ответа.

Что делает прямоугольный треугольник?

Прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого один угол равен 90 градусам: идеальному квадратному углу.

Вы видите прямые углы повсюду: угол книги, край дверного проема, пересечение стены и пола.

Две стороны, образующие прямой угол, называются боками.

Строка, противоположная прямому углу, самая длинная сторона, называется гипотенузой.

Вот главная идея, которую обнаружили тысячи лет назад:

a² + b² = c²

где a и b - это стороны, а c - гипотенуза.

В словах: если нарисовать квадрат на каждой стороне прямоугольного треугольника, площадь двух меньших квадратов равна сумме площадей двух больших квадратов.

Визуальное доказательство

Видение с квадратами

Квадраты Пифагора на треугольнике 3-4-5

Прямоугольный треугольник 3-4-5 с обозначенными боками и гипотенузой, вычисления по формуле и таблица распространенных Пифагоровых троек

Представьте прямоугольный треугольник с боками длиной 3 и 4.

Попробуйте нарисовать квадрат на каждом боку:

- Квадрат на боку длиной 3 имеет площадь 3² = 9

- Квадрат на боку длиной 4 имеет площадь 4² = 16

- Квадрат на гипотенузе имеет площадь 9 + 16 = 25

А что есть квадратный корень из 25? Это 5.

Таким образом, гипотенуза равна 5 единиц длины. Это самый знаменитый из всех геометрических треугольников - 3-4-5.

Если обе ноги у прямоугольного треугольника равны 3 и 4, какой длины должна быть гипотенузой? Показать свой расчет с помощью a² + b² = c².

Проблема с лестницей

Поиск пропущенных сторон

Теорема Пифагора не только для нахождения гипотенузы. Вы можете переопределить ее для нахождения любой пропущенной стороны.

Чтобы найти боковую сторону: a² = c² - b²

Давайте попробуем классическую проблему.

Лестница 10 футов в длину и опирается на стену. Расстояние от основания лестницы до стены 6 футов.

Стена, земля и лестница образуют прямоугольный треугольник. Лестница является гипотенузой (она самая длинная сторона, которая идет под прямым углом между стеной и землей).

Дистанция на земле (6 футов) - одна из сторон. Высота на стену - другая сторона: и это то, что мы должны найти.

На какую высоту лестница достигает стены? Составьте уравнение и решите его шаг за шагом.

Славные Триплеты

Пифагоровы Триплеты

Пифагоров триплет - это набор из трех целых чисел, удовлетворяющих a² + b² = c².

Вот самые распространенные:

- 3, 4, 5: классика (9 + 16 = 25)

- 5, 12, 13: (25 + 144 = 169)

- 8, 15, 17: (64 + 225 = 289)


Правило Строителя 3-4-5

Столяры и рабочие на строительстве каждый день используют триплет 3-4-5, чтобы делать идеальные прямые углы.

Вот как это работает: если вам нужно идеальное прямое углы, для основания, террасы или ограждения, измерьте 3 фута вдоль одной стороны и 4 фута вдоль другой. Если диагональ между этими двумя точками равна ровно 5 футам, ваш угол будет идеальным 90 градусов.

Эта хитрость используется с древних времен египетских пирамид. Они называли людей, которые делали это, прочь-стрелки: они использовали намотанные веревки, измеренные в единицах 3, 4 и 5.

Совершенствует ли 7, 24, 25 триплет Пифагора? Докажите это, проверив, удовлетворяют ли a² + b² = c².

От Треугольников к Координатам

Связь с Геометрией Координат

Плоскость координат с двумя точками P1(1,2) и P2(4,6), показывающая образованный ими прямоугольный треугольник, с расчетом формулы расстояния

Теорема Пифагора не только живет в классе геометрии: она является двигателем формулы расстояния, которую вы используете на плоскости координат.

Вот связь: если вы хотите найти расстояние между двумя точками, вы можете нарисовать прямоугольный треугольник, где расстояние является гипотенузой.

Предположим, у вас есть две точки: (x₁, y₁) и (x₂, y₂).

- Горизонтальное расстояние между ними - (x₂ - x₁): это одна нога.

- Вертикальное расстояние между ними - (y₂ - y₁): это другая нога.

- Прямолинейное расстояние - гипотенуза.

Примените Теорему Пифагора:

d² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²

d = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

Это все. Формула расстояния - это просто Пифагоровы теорема, одетая в маску координатной геометрии.

Найдите расстояние между точками (1, 2) и (4, 6). Показать свою работу.

Пифагоров теорема в дикой природе

Теорема во всём

Четыре реальных применения: лестница против стены, диагональ экрана, базовый угол в бейсболе и GPS расстояние - все решаются с помощью a² + b² = c²

Пифагоров теорема - одна из самых практических идей во всей математике. Вот где она проявляется в реальной жизни:


Навигация & GPS: Ваш телефон вычисляет расстояния между координатами с помощью формулы расстояния, которая - это Пифагоров теорема. На малых масштабах широта и долгота образуют сетку, а прямолинейные расстояния - гипотенузы.


Архитектура & Строительство: Каждый прямой угол в каждом здании проверялся с помощью этой теоремы. Привязка 3-4-5 на строительной площадке по-прежнему используется сегодня.


Размеры экрана: Когда телевизор или телефон рекламируется с 55-дюймовым экраном или 6,1-дюймовым дисплеем, это число - диагональное измерение. Диагональ прямоугольника - это гипотенуза правого треугольника, образованного его шириной и высотой.


Спорт: На сколько футов baseball летает от дома до второй базы? Базы образуют квадрат, а бросок - диагональ, проблема Пифагора.

Экран вашего телефона заявлен под 6,1 дюйма: это диагональное измерение. Если ширина экрана 2,8 дюйма, то какова высота? Округлить до одного десятичного знака.