Formel

Wahrscheinlichkeitsformel

Wahrscheinlichkeit misst, wie wahrscheinlich ein Ereignis ist, zu passieren, auf einer Skala von 0 (unmöglich) bis 1 (gewiss).

Die grundlegende Formel ist einfach:

P(Ereignis) = günstige Ausgänge / Gesamt-Ausgänge

Einige Beispiele:

- Münzwurf (Kopf): 1 günstiger Ausgang / 2 Gesamt-Ausgänge = 1/2 = 0.5 = 50%

- Würfel 6 werfen: 1 günstig / 6 insgesamt = 1/6 ≈ 16.7%

- Ein Karten ziehen von einem Stapel: 4 Könige / 52 Karten = 4/52 = 1/13 ≈ 7.7%

Das Schlüsselelement ist Zählen: Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass die Sache passiert, aus wie vielen möglichen Möglichkeiten?

Übungsaufgabe

Lass uns mit einem klassischen Problem üben.

Ein Beutel enthält 3 rote Murmels & 5 blaue Murmels. Du greifst hinein & ziehst ein Murmel ohne hinzusehen.

UND und ODER

Wahrscheinlichkeiten kombinieren

Manchmal möchten wir wissen, wie wahrscheinlich es ist, dass mehr als ein Ereignis eintritt.

Es gibt zwei Hauptregeln:

UND (beide Ereignisse geschehen): Multipliziere die Wahrscheinlichkeiten

- Das funktioniert, wenn die Ereignisse unabhängig voneinander sind: eines beeinflusst das andere nicht.

- Beispiel: P(Kopf UND Kopf) = 1/2 × 1/2 = 1/4

ODER (ein Ereignis tritt ein): Füge die Wahrscheinlichkeiten zusammen

- Das funktioniert, wenn die Ereignisse wechselseitexklusiv sind: sie können beide nicht gleichzeitig eintreten.

- Beispiel: P(einen 1 oder einen 2 werfen) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Denke daran: UND macht Dinge weniger wahrscheinlich (du brauchst beide). ODER macht Dinge wahrscheinlicher (du brauchst nur eines).

Übungsaufgabe

Hier ist ein Problem mit verknüpften Wahrscheinlichkeiten.

Du wärfst eine Münze und würfelst ein sechseckiges Würfel gleichzeitig.

Roulettewelle hat keinen Einfluss

Der Glücksspiel-Irrtum

Im Jahr 1913 im Monte Carlo Casino landete die Roulettekugel 26 Mal in Folge auf schwarz. Spieler rannten zu den Roulette-Tischen, um auf rot zu wetten, überzeugt, dass es "schuldig" sei. Sie verloren Millionen.

Dieser Fehler ist so verbreitet, dass er einen Namen hat: das Glücksspieler-Paradox.

Das Paradox ist die Annahme, dass frühere Ergebnisse zukünftige unabhängige Ereignisse beeinflussen. Aber eine Roulettewelle hat keine Erinnerung. Eine Münze hat keine Erinnerung. Würfel haben keine Erinnerung.

Jeder Spin, Wurf oder Würfel ist ein neuer Anfang mit den gleichen Wahrscheinlichkeiten wie immer.

Warum machen unsere Gehirne diesen Fehler? Weil Menschen nach Mustern suchen. Wir haben uns zur Suche nach Mustern entwickelt: manchmal finden wir aber Muster, die nicht existieren.

Teste dein Verständnis

Hier ist eine Situation, über die nachgedacht werden sollte.

Du beobachtest eine Roulettewelle. Bei der Ausschüttung der 0 und 00 werden ignoriert, die Wahrscheinlichkeit von Rot bei jedem einzelnen Spin beträgt 50%. Die Welle hat gerade 8 Mal in Folge auf schwarz gelandet.

Warum immer der Haus gewinnt

Erwartungswert

Der erwartete Wert (EV) ist das durchschnittliche Ergebnis, das du erhalten würdest, wenn du etwas viele, viele Male wiederholst.

Die Formel lautet:

E(V) = (Preis × Wahrscheinlichkeit des Gewinns) - Kosten

Wenn der erwartete Wert positiv ist, liegt der Einsatz im Vorteil.

Wenn der erwartete Wert negativ ist, liegt der Einsatz im Vorteil des Hauses.

Das erklärt, warum Casinos rentabel sind. Jedes von ihnen angebotene Spiel hat einen negativen erwarteten Wert für den Spieler. Einer könnte gewinnen, aber im Laufe von Tausenden von Wetten ist die Mathematik immer für das Haus.

Lotterie-Problematik

Lassen wir den erwarteten Wert einer Lotterielose berechnen.

- Eine Los kostet $2

- Die Chance auf den Gewinn beträgt 1 zu 1.000

- Der Preis beträgt $500

Wahrscheinlichkeit im Alltag

Wahrscheinlichkeit ist überall

Wahrscheinlichkeit ist nicht nur für Casinos und Kartenspiele. Sie bestimmt Entscheidungen im echten Leben jeden Tag.

Wettervorhersagen: Wenn die Vorhersage '70% Wahrscheinlichkeit für Regen' sagt, bedeutet das, dass es in 100 ähnlichen Wetterlagen etwa 70-mal geregnet hat. Es bedeutet nicht, dass 70% des Gebiets Regen erhalten wird oder dass es den ganzen Tag 70% des Tages regnet.

Sportanalytik: Teams nutzen Wahrscheinlichkeit, um zu entscheiden, wann sie auf der vierten Down gehen, wann sie einen Torhüter abziehen oder wann sie ein Safety spielen. Moneyball war eine Wahrscheinlichkeitsrevolution.

Medizinische Tests: Hier wird die Wahrscheinlichkeit wirklich gegenintuitiv: & ein Missverständnis kann echten Schaden verursachen.

Medizinisches Testproblem

Das Rätsel des falschen Positivs

Dies ist einer der bekanntesten Probleme in der Wahrscheinlichkeit. Lies sorgfältig.

- Eine Krankheit betrifft 1 von 1.000 Menschen in der Bevölkerung.

- Ein Test zur Diagnose der Krankheit ist 99% genau: das bedeutet, dass er kranke Menschen 99% der Zeit richtig identifiziert und gesunde Menschen 99% der Zeit richtig identifiziert.

- Du machst den Test und erhältst ein positives Ergebnis.

Die meisten Menschen, einschließlich vieler Ärzte, bekommen das falsch.

Was haben Sie gelernt

Zusammenfassung

Sie haben in dieser Lektion viel Grundlagen geschafft:

- Grundlegende Wahrscheinlichkeit: P(Ereignis) = günstig / total

- Zusammengesetzte Ereignisse: UND bedeutet multiplizieren, ODER bedeutet addieren

- Glücksspieler-Mythos: Zuvor erreichte Ergebnisse haben keinen Einfluss auf unabhängige zukünftige Ereignisse

- Erwartungswert: das langfristige durchschnittliche Ergebnis einer Wette

- Stammdaten & falsch positive: warum eine positive Testung nicht immer bedeutet, dass man krank ist

Wahrscheinlichkeit ist einer der praxisbezogensten Zweige der Mathematik. Es wird Ihnen nicht glücklich machen: aber es wird Ihnen helfen, bessere Entscheidungen zu treffen.