Phương pháp

Công thức Xác Suất

Xác suất đo lường khả năng một sự kiện xảy ra, trên một thang từ 0 (không thể xảy ra) đến 1 (điều chắc chắn sẽ xảy ra).

Công thức cơ bản rất đơn giản:

P(sự kiện) = các kết quả thuận lợi / tổng số kết quả

Một số ví dụ:

- Lật đồng tiền (đầu lâu): 1 kết quả thuận lợi / 2 tổng số kết quả = 1/2 = 0.5 = 50%

- Xả một 6 trên một con xúc xắc: 1 thuận lợi / 6 tổng số = 1/6 ≈ 16.7%

- Lấy một ace từ một bộ bài: 4 ace / 52 thẻ = 4/52 = 1/13 ≈ 7.7%

Chìa khóa là đếm: có bao nhiêu cách để điều đó xảy ra, trong bao nhiêu khả năng tổng thể?

Câu hỏi Thực Tế

Hãy thực hành với một vấn đề cổ điển.

Thùng chứa 3 viên marble màu đỏ & 5 viên marble màu xanh. Bạn đưa tay vào và rút một viên marble mà không nhìn.

VÀ và HOẶC

Kết hợp xác suất

Thỉnh thoảng chúng ta muốn biết xác suất của một số điều xảy ra.

Có hai quy tắc chính:

VÀ ( cả hai sự kiện xảy ra ): Nhân các xác suất

- Điều này hoạt động khi các sự kiện là tự do: một không ảnh hưởng đến cái khác.

- Ví dụ: P(lật đầu AND đầu) = 1/2 × 1/2 = 1/4

HOẶC (một trong các sự kiện xảy ra): Cộng các xác suất

- Điều này hoạt động khi các sự kiện là độc lập: chúng không thể xảy ra cùng một lúc.

- Ví dụ: P(rolling một viên 1 HOẶC một viên 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Hãy xem xét như sau: VÀ làm cho các sự kiện ít khả năng (cần cả hai sự kiện). HOẶC làm cho các sự kiện khả năng cao hơn (chỉ cần một trong hai).

Vấn đề thực hành

Đây là một vấn đề xác suất ghép hợp.

Bạn lật một đồng tiền công bằng và rolling một chiếc xúc xắc công bằng có sáu mặt cùng một lúc.

Cái bánh roulette không có trí nhớ

Tầm nhìn của cờ bạc

Năm 1913 tại Casino Monte Carlo, quả bóng roulette rơi vào màu đen 26 lần liên tiếp. Cá cược lao vào đặt cược vào màu đỏ, họ tin rằng nó 'được chờ đợi'. Họ thua hàng triệu đô la.

Lỗi này là một sai lầm rất phổ biến và nó có tên gọi: Sai lầm của người cá cược.

Sai lầm này là tin rằng kết quả quá khứ ảnh hưởng đến các sự kiện độc lập trong tương lai. Nhưng một chiếc đĩa roulette không có trí nhớ. Một đồng tiền không có trí nhớ. Xì gà không có trí nhớ.

Mỗi lần quay, lật hoặc ném đều là một khởi đầu mới với xác suất giống như lúc ban đầu.

Tại sao não của chúng ta lại mắc sai lầm này? Vì con người là những người tìm kiếm mẫu hình. Chúng ta tiến hóa để tìm thấy các mẫu hình: nhưng đôi khi chúng ta tìm thấy các mẫu hình ở nơi không có.

Kiểm tra hiểu biết của bạn

Đây là một kịch bản để bạn suy ngẫm.

Bạn đang quan sát đĩa roulette. Bỏ qua các màu xanh 0 và 00, xác suất của màu đỏ trong một lần quay duy nhất là 50%. Đĩa vừa rơi vào màu đen 8 lần liên tiếp.

Tại sao Nhà Cái Luôn Thắng

Giá Trị Xác Suất

Giá trị xác suất (EV) là kết quả trung bình bạn sẽ nhận được nếu bạn lặp lại điều gì đó rất nhiều, rất nhiều lần.

Công thức là:

E(V) = (giải thưởng × xác suất thắng) - chi phí

Nếu giá trị xác suất là tích cực, cược thuận lợi cho bạn trong thời gian.

Nếu giá trị xác suất là tích cực tiêu, cược thuận lợi cho nhà cái trong thời gian.

Điều này giải thích tại sao các nhà cái là lợi nhuận. Mỗi trò chơi họ cung cấp đều có một giá trị xác suất tiêu cho người chơi. Một người có thể thắng lớn, nhưng trên toàn bộ nghìn lần cược, toán học luôn có lợi cho nhà cái.

Vấn đề Vé Số

Hãy tính giá trị dự kiến của một vé số.

- Một vé giá $2

- Cơ hội trúng thưởng là 1 trong 1,000

- Cúp thưởng là $500

Tính xác suất trong cuộc sống hàng ngày

Xác suất xuất hiện khắp nơi

Xác suất không chỉ dành cho casino và các game bài. Nó ảnh hưởng đến quyết định trong thế giới thực mỗi ngày.

Biến天 báo: Khi dự báo '70% cơ hội mưa,' điều này có nghĩa là trong 100 tình huống thời tiết tương tự, có khoảng 70 lần mưa. Nó không có nghĩa là 70% khu vực sẽ có mưa, hoặc mưa sẽ kéo dài 70% ngày.

Kinh tế thể thao: Các đội sử dụng xác suất để quyết định khi nào nên cố gắng trên đường chuyền thứ tư, khi nào nên rút thủ môn, hoặc khi nào nên đánh luân lưu. Moneyball là một cuộc cách mạng xác suất.

Xét nghiệm y tế: Đây là nơi xác suất thực sự trái ngược với sự hiểu biết thông thường: & hiểu sai nó có thể gây hại thực sự.

Vấn đề xét nghiệm y tế

Lỗi sai dương tính giả

Đây là một trong những vấn đề nổi tiếng nhất về xác suất. Hãy đọc kỹ.

- Một bệnh ảnh hưởng đến 1 trong 1,000 người trong dân số.

- Một xét nghiệm cho bệnh này là 99% chính xác: có nghĩa là nó xác định đúng người bệnh 99% thời gian, & xác định đúng người khỏe mạnh 99% thời gian.

- Bạn đã làm xét nghiệm & có một kết quả dương tính.

Nhiều người, bao gồm nhiều bác sĩ, mắc lỗi ở đây.

Những điều bạn đã học được

Kết thúc

Bạn đã đi qua rất nhiều nội dung trong bài học này:

- Xác suất cơ bản: P(event) = thuận lợi / tổng

- Sự kiện hỗn hợp: AND có nghĩa là nhân, OR có nghĩa là cộng

- Tồi miệt: kết quả quá khứ không ảnh hưởng đến sự kiện tương lai độc lập

- Giá trị mong đợi: kết quả trung bình lâu dài của một cược

- Tỷ lệ cơ sở & sai dương tính: tại sao một xét nghiệm dương tính không nhất thiết có nghĩa là bạn bị bệnh

Xác suất là một trong những ngành lý thuyết ứng dụng hữu ích nhất của toán học. Nó không làm cho bạn may mắn hơn: nhưng nó sẽ giúp bạn đưa ra quyết định tốt hơn.