Công thức

Công thức Xác suất

Xác suất đo lường khả năng xảy ra của một sự kiện, trên thang điểm từ 0 (không thể) đến 1 (chắc chắn).

Công thức cơ bản rất đơn giản:

P(sự kiện) = số kết quả thuận lợi / số kết quả tổng cộng

Một số ví dụ:

- Lật đồng xu (ngửa): 1 kết quả thuận lợi / 2 kết quả tổng cộng = 1/2 = 0,5 = 50%

- Lăn được 6 trên xúc xắc: 1 thuận lợi / 6 tổng cộng = 1/6 ≈ 16,7%

- Rút được một quân Át từ bộ bài: 4 quân Át / 52 lá = 4/52 = 1/13 ≈ 7,7%

Chìa khóa là đếm: có bao nhiêu cách mà sự kiện có thể xảy ra, trong tổng số bao nhiêu khả năng?

Bài tập thực hành

Hãy thực hành với một bài toán kinh điển.

Một túi chứa 3 viên bi đỏ và 5 viên bi xanh. Bạn thò tay vào và rút ra một viên bi mà không nhìn.

VÀ và HOẶC

Kết hợp các xác suất

Đôi khi chúng ta muốn biết xác suất của nhiều hơn một điều xảy ra.

Có hai quy tắc chính:

VÀ (cả hai sự kiện xảy ra): Nhân các xác suất

- Điều này hoạt động khi các sự kiện là độc lập — cái này không ảnh hưởng đến cái kia.

- Ví dụ: P(ngửa VÀ ngửa) = 1/2 × 1/2 = 1/4

HOẶC (một trong hai sự kiện xảy ra): Cộng các xác suất

- Điều này hoạt động khi các sự kiện là loại trừ lẫn nhau — chúng không thể cùng xảy ra.

- Ví dụ: P(lăn được 1 HOẶC 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Hãy nghĩ theo cách này: VÀ làm cho mọi thứ ít khả năng hơn (bạn cần cả hai xảy ra). HOẶC làm cho mọi thứ khả năng hơn (bạn chỉ cần một cái).

Bài tập thực hành

Đây là một bài toán xác suất kết hợp.

Bạn lật một đồng xu công bằng và lăn một xúc xắc sáu mặt công bằng cùng một lúc.

Bánh xe Roulette Không có Ký ức

Sai lầm của Kẻ đánh bạc

Năm 1913 tại Casino Monte Carlo, bánh xe roulette đã dừng ở đen 26 lần liên tiếp. Những kẻ đánh bạc vội vã đặt cược vào đỏ, tin rằng nó 'đến lượt rồi.' Họ mất hàng triệu.

Sai lầm này quá phổ biến nên nó có một cái tên: Sai lầm của Kẻ đánh bạc.

Sai lầm là tin rằng các kết quả quá khứ ảnh hưởng đến các sự kiện độc lập trong tương lai. Nhưng bánh xe roulette không có ký ức. Đồng xu không có ký ức. Xúc xắc không có ký ức.

Mỗi vòng quay, lần lật hoặc lần lăn là một khởi đầu mới với các xác suất như vốn có.

Tại sao não bộ của chúng ta mắc sai lầm này? Vì con người là những kẻ tìm kiếm mẫu. Chúng ta tiến hóa để tìm các mẫu — nhưng đôi khi chúng ta tìm thấy các mẫu mà không có sự tồn tại.

Kiểm tra sự hiểu biết của bạn

Đây là một kịch bản để suy nghĩ.

Bạn đang xem một bánh xe roulette. Bỏ qua xanh 0 và 00, xác suất của đỏ trên bất kỳ vòng quay nào là 50%. Bánh xe vừa dừng ở đen 8 lần liên tiếp.

Tại sao Nhà cái Luôn Thắng

Giá trị Kỳ vọng

Giá trị kỳ vọng (EV) là kết quả trung bình bạn sẽ nhận được nếu bạn lặp lại điều gì đó nhiều lần, nhiều lần.

Công thức là:

E(V) = (giải thưởng × xác suất thắng) - chi phí

Nếu giá trị kỳ vọng là dương, cược ủng hộ bạn theo thời gian.

Nếu giá trị kỳ vọng là âm, cược ủng hộ nhà cái theo thời gian.

Đây là lý do các sòng bạc có lợi nhuận. Mọi trò chơi họ cung cấp đều có giá trị kỳ vọng âm cho người chơi. Một người có thể thắng lớn, nhưng trên hàng ngàn cược, toán học luôn ủng hộ nhà cái.

Bài toán Xổ số

Hãy tính giá trị kỳ vọng của một vé xổ số.

- Một vé có giá $2

- Khả năng thắng là 1 trong 1.000

- Giải thưởng là $500

Xác suất trong Cuộc sống Hàng ngày

Xác suất Ở Khắp mọi Nơi

Xác suất không chỉ dành cho các sòng bạc và trò chơi bài. Nó định hình các quyết định trong thế giới thực mỗi ngày.

Dự báo thời tiết: Khi dự báo nói 'khả năng mưa 70%', điều đó có nghĩa là trong 100 tình huống thời tiết tương tự, trời mưa khoảng 70 lần. Nó không có nghĩa là 70% khu vực sẽ bị mưa, hoặc nó sẽ mưa trong 70% ngày.

Phân tích thể thao: Các đội sử dụng xác suất để quyết định khi nào để tấn công ở lần lăn thứ tư, khi nào để rút thủ môn, hoặc khi nào để búa. Moneyball là một cuộc cách mạng xác suất.

Xét nghiệm y tế: Đây là nơi xác suất trở nên thực sự đối lập — và nơi sự hiểu lầm có thể gây hại thực tế.

Bài toán Xét nghiệm Y tế

Câu đố Kết quả Dương tính Giả

Đây là một trong những bài toán nổi tiếng nhất trong xác suất. Hãy đọc kỹ.

- Một căn bệnh ảnh hưởng đến 1 trong 1.000 người trong dân số.

- Một xét nghiệm cho căn bệnh chính xác 99% — có nghĩa là nó xác định chính xác những người bệnh 99% thời gian, và xác định chính xác những người khỏe mạnh 99% thời gian.

- Bạn làm xét nghiệm và nhận được kết quả dương tính.

Hầu hết mọi người — bao gồm nhiều bác sĩ — mắc sai lầm về điều này.

Những gì Bạn đã Học

Kết thúc

Bạn đã bao quát rất nhiều kiến thức trong bài học này:

- Xác suất cơ bản: P(sự kiện) = kết quả thuận lợi / tổng kết quả

- Sự kiện kết hợp: VÀ có nghĩa là nhân, HOẶC có nghĩa là cộng

- Sai lầm của Kẻ đánh bạc: kết quả quá khứ không ảnh hưởng đến các sự kiện độc lập trong tương lai

- Giá trị kỳ vọng: kết quả trung bình dài hạn của một cược

- Tỷ lệ cơ bản và kết quả dương tính giả: tại sao một xét nghiệm dương tính không phải lúc nào cũng có nghĩa là bạn bị bệnh

Xác suất là một trong những nhánh thực tế nhất của toán học. Nó sẽ không làm cho bạn may mắn — nhưng nó sẽ giúp bạn đưa ra những quyết định tốt hơn.