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Chaque fois que vous vérifiez la prévision météorologique, jouez aux cartes ou vous demandez si votre toast va tomber du bon côté, vous pensez à la probabilité.
La probabilité est la branche des mathématiques qui quantifie l'incertitude. Elle nous donne un moyen de mesurer la probabilité qu'un événement se produise : et comment il est improbable.
Les casinos s'en reposent dessus. Les prévisions météorologiques en dépendent. Les tests médicaux vivent ou meurent avec. Les sociétés d'assurance évaluent leurs produits avec.
Dans ce cours, vous apprendrez à calculer les probabilités, repérer les erreurs courantes dans la pensée probabiliste et comprendre pourquoi la maison gagne toujours.
Question de réchauffement
Avant de commencer, testons votre intuition.
Formule
La Formule de Probabilité
La probabilité mesure la probabilité qu'un événement se produise, sur une échelle allant de 0 (impossible) à 1 (certain).
La formule de base est simple:
P(événement) = issues favorables / total des issues
Quelques exemples:
- Lancer de jeton (pile) : 1 issue favorable / 2 issues totales = 1/2 = 0,5 = 50%
- Lancer un 6 sur un dé : 1 favorable / 6 total = 1/6 ≈ 16,7%
- Tirer un as d'une boîte : 4 as / 52 cartes = 4/52 = 1/13 ≈ 7,7%
La clé, c'est de compter : combien de façons y a-t-il pour que les choses se produisent, sur combien de possibilités totales ?
Problème de pratique
Laissons-nous pratiquer avec un problème classique.
Un sac contient 3 billes rouges & 5 billes bleues. Vous plongez la main et tirez une bille sans regarder.
ET et OU
Combinaison des Probabilités
Parfois, nous voulons connaître la probabilité de plus d'un événement se produire.
Il existe deux règles principales:
ET (les deux événements se produisent) : Multipliez les probabilités
- Cela fonctionne lorsque les événements sont indépendants : l'un n'affecte pas l'autre.
- Exemple : P(coups ET coups) = 1/2 × 1/2 = 1/4
OU (l'un des événements se produit) : Ajoutez les probabilités
- Cela fonctionne lorsque les événements sont mutuellement exclusifs : ils ne peuvent pas tous les deux se produire en même temps.
- Exemple : P(rouler un 1 OU un 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Imaginez cela : ET rend les choses moins probables (vous devez que les deux). OU rend les choses plus probables (vous n'avez besoin que d'une seule).
Problème de Pratique
Voici un problème de probabilité composée.
Vous faites tomber une pièce équilibrée et roulez un dé à six faces au même moment.
Roulette : La Roue N'a Pas de Mémoire
L'Erreur du Jouisseur
En 1913 à l'Casino de Monte-Carlo, la balle du roulette a atterri sur le noir 26 fois de suite. Les joueurs sont accourus parier sur le rouge, convaincus qu'il était 'dû'. Ils ont perdu des millions.
Cette erreur est si courante qu'elle a un nom : la fausse idée des joueurs.
La fausse idée est de croire que les résultats passés affectent les événements futurs indépendants. Mais une roue de roulette n'a pas de mémoire. Une pièce n'a pas de mémoire. Des dés n'ont pas de mémoire.
Chaque rotation, levée ou lancer est un nouvel départ avec les mêmes probabilités que toujours.
Pourquoi nos cerveaux commettent-ils cette erreur ? Parce que les humains sont des chercheurs de motifs. Nous avons évolué pour trouver des motifs, mais parfois nous trouvons des motifs où il n'y en a pas.
Testez votre compréhension
Voici un scénario à réfléchir.
Vous observez une roue de roulette. En ignorant le vert 0 & 00, la probabilité du rouge à une seule rotation est de 50%. La roue vient de se terminer sur le noir 8 fois de suite.
Pourquoi la maison gagne toujours
Valeur attendue
La valeur attendue (EV) est la résultat moyen que vous obtiendriez si vous répétiez quelque chose beaucoup, beaucoup de fois.
La formule est :
E(V) = (prix - coût) × probabilité de gagner
Si la valeur attendue est positive, la mise est en votre faveur au fil du temps.
Si la valeur attendue est négative, la mise est en faveur de la maison au fil du temps.
Cela explique pourquoi les casinos sont rentables. Chaque jeu qu'ils offrent a une valeur attendue négative pour le joueur. Quelqu'un pourrait gagner gros, mais au fil de milliers de paris, la mathématique favorise toujours la maison.
Problème du loto
Calculons la valeur attendue d'un billet de loterie.
- Un billet coûte $2
- La chance de gagner est 1 sur 1 000
- Le prix est $500
Probabilités dans la vie quotidienne
La probabilité est partout
La probabilité n'est pas seulement réservée aux casinos et aux jeux de cartes. Elle influence les décisions dans le monde réel chaque jour.
Prévisions météorologiques: Lorsque la prévision météorologique indique '70% de chance de pluie', cela signifie que dans 100 situations météorologiques similaires, il a plu environ 70 fois. Cela ne signifie pas que 70% de la zone recevra de la pluie, ou que la pluie tombera pendant 70% de la journée.
Analyse de sports: Les équipes utilisent la probabilité pour décider de tenter un coup de pied de but à la quatrième tentative, de retirer un gardien de but ou de faire battre. Moneyball a été une révolution de la probabilité.
Examens médicaux: C'est là où la probabilité devient vraiment contre-intuitive : où la méprise peut causer un véritable préjudice.
Problème d'examen médical
L'énigme du résultat faux positif
C'est l'un des problèmes les plus célèbres en probabilité. Lisez attentivement.
- Une maladie affecte 1 sur 1 000 personnes dans la population.
- Un test pour la maladie est 99% précis : cela signifie qu'il identifie correctement les personnes malades à 99% du temps et qu'il identifie correctement les personnes en bonne santé à 99% du temps.
- Vous faites le test et obtenez un résultat positif.
La plupart des personnes, y compris de nombreux médecins, se trompent ici.
Ce que vous avez appris
Résumé
Vous avez couvert beaucoup de terrain dans cette leçon :
- Probabilités de base: P(événement) = favorable / total
- Événements composés: ET signifie multiplier, OU signifie ajouter
- Le paradoxe du joueur: les résultats passés n'affectent pas les événements futurs indépendants
- Valeur attendue: la moyenne à long terme des résultats d'une mise
- Taux de base et faux positifs: pourquoi un test positif ne signifie pas toujours que vous êtes malade
La probabilité est l'une des branches les plus pratiques de la mathématiques. Elle ne vous rendra pas chanceux, mais elle vous aidera à prendre de meilleures décisions.