公式

概率公式

概率衡量事件发生的可能性，从0（不可能）到1（必然） scales。

基本公式简单：

P(event) = favorable outcomes / total outcomes

一些例子：

- 硬币翻转（头）：1 个有利结果 / 2 个总结果 = 1/2 = 0.5 = 50%

- 掷骰子，得到6：1 个有利结果 / 6 个总结果 = 1/6 ≈ 16.7%

- 从一副牌中抽到一个A：4 个A / 52 张牌 = 4/52 = 1/13 ≈ 7.7%

关键是统计：事情发生的方式有多少，总可能性有多少？

练习题

让我们练习一个经典的问题。

一个袋子里有 3个红色珠子 和 5个蓝色珠子。你伸手去拿一个珠子而不看。

AND 和 OR

结合概率

有时候我们想知道两个或多个事情同时发生的概率。

有两条主要规则:

AND (两个事件都发生)：乘以概率

- 当事件是 独立 的时，这条规则适用：一个事件不会影响另一个事件。

- 示例：P(heads AND heads) = 1/2 × 1/2 = 1/4

OR (任意一个事件发生)：加法法则

- 当事件是 互斥 的时，这条规则适用：它们不能同时发生。

- 示例：P(掷出1 OR 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

想象一下：AND使事情变得更不可能（需要同时发生）。OR使事情变得更可能（只需要一个事件发生）。

练习题

这是一个复合概率问题。

你同时掷一次公平的硬币和掷一次公平的六面骰子。

轮盘赌盘没有记忆

赌徒谬误

1913年，蒙特卡洛赌场的轮盘球连续落在黑色26次。赌徒们相信它‘该’是红色了，急忙押红色，结果输了几百万。

这种错误叫做赌徒谬误。

谬误是认为过去的结果会影响未来的独立事件。但轮盘球没有记忆。硬币没有记忆。骰子没有记忆。

每次翻转、滚动都是一个新的开始，概率与过去相同。

为什么大脑会犯这个错？因为人类是模式寻找者。我们进化出了找到模式的能力：但有时候我们会在没有模式的地方找到模式。

测试你的理解

这里有一种场景供你思考。

你正在观看轮盘游戏。忽略绿色0和00，单次翻转红色的概率为50%。轮盘刚刚连续落在黑色8次。

为什么房子总是赢

期望值

期望值（EV）是你重复某个事情很多很多次后得到的平均结果。

公式是：

E(V) = (奖金 × 赢的概率) - (成本)

如果期望值是正的，投注会在长期中有利于你。

如果期望值是负的，投注会在长期中有利于赌场。

这就是为什么赌场盈利的原因。他们提供的每个游戏对玩家来说都是负期望值。一个人可能会赢得大奖，但在数千次投注中，数学总是会让房子占上风。

彩票问题

让我们计算彩票的预期值。

- 一张彩票的价格为 $2

- 中奖的可能性为 1 在 1,000

- 奖金为 $500

概率在日常生活中的应用

概率无处不在

概率不仅仅用于赌场和扑克游戏。它在每天的现实世界中塑造决策。

天气预报: 当预报说'70%的可能性下雨'时，它意味着在100个类似的天气情况下，大约下雨70次。这并不意味着70%的地区会下雨，或者说会下雨70%的时间。

体育分析: 球队使用概率来决定何时尝试第四下，何时换上守门员，或者何时滚球。《钱球》是一场概率革命。

医学检查: 这是概率最真实令人困惑的地方：在这里误解它可能会造成真正的伤害。

医学检查问题

错误阳性谜题

这是概率中最著名的一个问题。请仔细阅读。

- 一种疾病会影响 1000 人中的 1 人 在人口中。

- 对该疾病的测试是 99% 准确：这意味着它在99%的时间正确识别患病的人，并在99%的时间正确识别健康的人。

- 你进行了测试并得出了一个 阳性结果。

大多数人，包括许多医生，都会对这个问题产生误解。

你学到了什么

结束语

你在这堂课中已经涉猎了很多内容:

- 基本概率: P(event) = favorable / total

- 复合事件: AND 表示乘法, OR 表示加法

- 赌徒谬误: 过去的结果不会影响独立的未来事件

- 期望值: 投注的长期平均结果

- 基础率与误报阳性: 为什么一个阳性测试并不意味着你生病了

概率是最实用的数学分支之一。它不会让你变得幸运,但它会帮助你做出更好的决策。