सूत्र

प्रायिकता सूत्र

संभावना वह माप है जो किसी घटना के होने की संभावना को 0 (असंभव) से लेकर 1 (विशिष्ट) तक के पैमाने पर मापता है।

बुनियादी सूत्र सरल है:

P(event) = favorable outcomes / total outcomes

कुछ उदाहरण:

- सिक्का फ्लिप (सिर): 1 अनुकूल परिणाम / 2 कुल परिणाम = 1/2 = 0.5 = 50%

- छह पर रोल करना डाई पर: 1 अनुकूल / 6 कुल = 1/6 ≈ 16.7%

- डेक से एक एक से एक निकालना: 4 एक / 52 कार्ड = 4/52 = 1/13 ≈ 7.7%

मुख्य बात गिनती है: चीज होने के कितने तरीके हैं, कुल संभावनाओं में से?

प्रैक्टिस प्रॉब्लम

एक क्लासिक प्रॉब्लम के साथ प्रैक्टिस करें।

बैग में 3 रेड मार्बल्स और 5 ब्लू मार्बल्स हैं। आप देखते बिना एक हाथ में डालते हैं।

और और या

संभावनाओं को जोड़ना

कभी-कभी हम एक से अधिक चीज होने की संभावना जानना चाहते हैं।

दो मुख्य नियम हैं:

और (दोनों घटनाएं होती हैं): संभावनाओं को गुणा करें

- जब घटनाएं स्वतंत्र होती हैं: एक दूसरे पर कोई प्रभाव नहीं होता है।

- उदाहरण: P(heads AND heads) = 1/2 × 1/2 = 1/4

या (किसी भी घटना होती है): संभावनाओं को जोड़ें

- जब घटनाएं समानांतर विरोधी होती हैं: वे एक ही समय में नहीं हो सकते हैं।

- उदाहरण: P(rolling a 1 OR a 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

इस तरह सोचें: और ऐसी चीजें कम संभावना बनाता है (दोनों होने की जरूरत है)। या ऐसी चीजें अधिक संभावना बनाता है (एक ही काम करता है)।

प्रैक्टिस प्रॉब्लम

यहाँ एक संयुक्त संभावना प्रॉब्लम है।

आप एक संतुलित सिक्का फ्लिप करते हैं और एक संतुलित छह-तरफा डाई रोल करते हैं एक साथ।

रूलेट व्हील का कोई याद नहीं है

जुआ खेलने वाले का झूठ

1913 में मोंटे कार्लो कैसीनो में रूलेट बॉल ने एक के बाद एक 26 बार काला लैंड किया। गैम्बलर्स ने लाल पर दांव लगाने के लिए दौड़े, वे सोच रहे थे कि यह 'ड्यू' है। वे लाखों डॉलर गंवा गए।

यह गलती इतनी आम है कि इसका नाम है: गैम्बलर्स फॉलसी।

यह विश्वास करना गलती है कि पिछले परिणाम भविष्य के स्वतंत्र इवेंट्स को प्रभावित करते हैं। लेकिन रूलेट व्हील को याद नहीं है। एक कॉइन को याद नहीं है। डाइस को याद नहीं है।

हर स्पिन, फ्लिप, या रोल एक नई शुरुआत होती है जिसके साथ हमेशा उसी संभावनाओं के साथ काम करते हैं।

हमारे मस्तिष्क क्यों इस गलती करते हैं? क्योंकि इंसान पैटर्न ढूंढने वाले हैं। हमें पैटर्न ढूंढने के लिए_evolved हुए हैं, लेकिन कभी-कभी हमें पैटर्न वहां नहीं मिलते जहां वे नहीं होते।

टेस्ट करें आपका समझ

यहां एक स्केनरियो सोचने के लिए है।

आप एक रूलेट व्हील देख रहे हैं। हर स्पिन के लिए, काले के अलावा हरे 0 & 00 को निकाल दें, लाल की संभावना 50% है। व्हील ने एक के बाद एक 8 बार काला लैंड कर दिया है।

घर को हमेशा जीतने का कारण

अपेक्स्टेड वैल्यू

अपेक्स्टेड वैल्यू (EV) वह औसत परिणाम होता है जो आप जब कुछ कई सारी बार दोहराते हैं तब प्राप्त करते हैं।

सूत्र है:

E(V) = (पुरस्कार × प्रॉबABILITY ऑफ विनिंग) - कोस्ट

यदि अपेक्स्टेड वैल्यू पॉजिटिव है, तो बेट आपके पक्ष में समय के साथ होती है।

यदि अपेक्स्टेड वैल्यू निगेटिव है, तो बेट समय के साथ घर के पक्ष में होती है।

यह समझाता है कि कैसिनो क्यों लाभदायक हैं। वे प्रदान करते हैं हर गेम के लिए एक नकारात्मक अपेक्स्टेड वैल्यू के लिए खिलाड़ी। किसी को भी बड़ा जीत सकता है, लेकिन हजारों बेट्स के बीच गणित हमेशा घर के पक्ष में होता है।

लॉटरी समस्या

लोटरी टिकट के अपेक्षित मूल्य को निकालें।

- टिकट की कीमत $2 है

- जीतने की संभावना 1 में 1,000 है

- इनाम $500 है

दैनिक जीवन में संभावना

संभावना हर जगह है

संभावना केवल कैसिनो और कार्ड गेम के लिए नहीं है। यह दिन-प्रतिदिन की वास्तविक दुनिया में निर्णय लेने में भी हिस्सा लेती है।

मौसम भविष्यवाणी: जब भविष्यवाणी कहती है '70% बारिश की संभावना', यह मतलब है कि 100 समान मौसम की स्थिति में, लगभग 70 बार बारिश होती है। यह नहीं कहता है कि 70% क्षेत्र में बारिश होगी, या कि बारिश 70% के लिए होगा।

खेल की सांख्यिकी: टीमें संभावना का उपयोग चौथे डाउन में कब जीतने का प्रयास करने के लिए, गोलकीपर निकालने के लिए, या जब बंट करना हो के लिए करती हैं। मोनी बॉल एक संभावना की револю्शन थी।

चिकित्सा परीक्षण: यह वह जगह है जहां संभावना वास्तव में अनुमान के विपरीत होती है: & जहां गलत समझने से वास्तविक नुकसान हो सकता है।

चिकित्सा परीक्षण समस्या

गलत सकारात्मक पズल

यह संभावना का सबसे प्रसिद्ध समस्या है। ध्यानपूर्वक पढ़ें।

- रोग 1 में 1,000 लोगों को आबादी में प्रभावित करता है।

- रोग के लिए परीक्षण 99% सटीक होता है: अर्थात यह 99% समय में बीमार लोगों को सही ढंग से पहचानता है, और स्वस्थ लोगों को 99% समय में सही ढंग से पहचानता है।

- आप परीक्षण करते हैं और सकारात्मक परिणाम प्राप्त करते हैं।

सामान्य तौर पर, यह गलती करने वाले लोग हैं।

आपके द्वारा सीखा

समाप्ति

आप ने इस पाठ में बहुत सी भूमि का आवरण किया है:

- बेसिक प्रॉबABILITY: P(event) = favorable / total

- कॉम्पाउंड इवेंट्स: AND का अर्थ गुणा, OR का अर्थ जोड़

- गैंबलर्स फॉलसी: पूर्व परिणाम भविष्य के स्वतंत्र घटनाओं को प्रभावित नहीं करते हैं

- एक्सपेक्टेड वैल्यू: बेट के लंबे समय के औसत परिणाम

- बेस रेट्स & फाल्स पॉजिटिव: क्यों एक सकारात्मक परीक्षण आपको बीमार होने का मतलब नहीं हो सकता है

संभावना गणित की सबसे व्यावहारिक शाखाओं में से एक है। यह आपको भाग्यशाली नहीं बना देगा, लेकिन यह आपको बेहतर निर्णय लेने में मदद करेगा।