Bienvenidos
Cada vez que revisas el pronóstico del tiempo, juegas un juego de cartas o te preguntas si tu tostada aterrizará con la mantequilla hacia abajo, piensas en probabilidad.
La probabilidad es la rama de las matemáticas que cuantifica la incertidumbre. Nos da una manera de medir cuán probable es que algo suceda: y cuán improbable.
Los casinos se basan en ella. Los pronósticos del tiempo dependen de ella. Los exámenes médicos viven o mueren por ella. Las compañías de seguros cotizan sus productos con ella.
En esta lección, aprenderás a calcular probabilidades, detectar errores comunes en el pensamiento probabilístico y comprender por qué la casa siempre gana.
Pregunta de Calentamiento
Antes de empezar, pruébalo tu intuición.
Fórmula
La Fórmula de Probabilidad
La probabilidad mide cuán probable es un evento suceda, en una escala de 0 (imposible) a 1 (cierto).
La fórmula básica es sencilla:
P(evento) = resultados favorables / resultados totales
Algunos ejemplos:
- Lanzamiento de moneda (cara): 1 resultado favorable / 2 resultados totales = 1/2 = 0.5 = 50%
- Lanzar un 6 en un dado: 1 favorable / 6 totales = 1/6 ≈ 16.7%
- Sacar una sota de una baraja: 4 sotas / 52 cartas = 4/52 = 1/13 ≈ 7.7%
La clave es contar: cuántas formas hay de que la cosa suceda, de cuántas posibilidades totales hay?
Problema de Práctica
Vamos a practicar con un problema clásico.
Una bolsa contiene 3 bolas rojas & 5 bolas azules. Introduce la mano y saca una bola sin mirar.
Y y O
Combinar Probabilidades
A veces queremos saber la probabilidad de que más de un evento ocurra.
Hay dos reglas principales:
Y (ambos eventos ocurren): Multiplica las probabilidades
- Esto funciona cuando los eventos son independientes: uno no afecta al otro.
- Ejemplo: P(cara Y cara) = 1/2 × 1/2 = 1/4
O (cualquier evento ocurre): Suma las probabilidades
- Esto funciona cuando los eventos son mutuamente excluyentes: no pueden ocurrir al mismo tiempo.
- Ejemplo: P(sacar un 1 O un 2) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Piense en esto: Y hace que las cosas sean menos probable (necesita que ambos ocurran). O hace que las cosas sean más probable (solo necesita uno).
Problema de Práctica
Aquí hay un problema de probabilidad compuesta.
Tira una moneda justa y saca un dado justo de seis caras al mismo tiempo.
La Rueda de Ruleta No Tiene Memoria
El Paradigma del Jugador
En 1913 en el Casino de Monte Carlo, la bola de la ruleta cayó en negro 26 veces seguidas. Los apostadores corrieron a apostar por rojo, convencidos de que estaba 'a punto de salir'. Perdieron millones.
Este error es tan común que tiene un nombre: el Paradoxo del Apostador.
El paradoja consiste en creer que los resultados del pasado afectan los eventos futuros independientes. Pero una ruleta de la fortuna no tiene memoria. Una moneda no tiene memoria. Los dados no tienen memoria.
Cada giro, volado o tiro es un nuevo comienzo con las mismas probabilidades que siempre.
¿Por qué nuestros cerebros cometen este error? Porque los humanos somos buscadores de patrones. Evolucionamos para encontrar patrones: pero a veces encontramos patrones donde no existen.
Prueba Tu Comprensión
Aquí tienes un escenario para pensarlo.
Estás observando una ruleta. Ignorando el verde 0 y 00, la probabilidad de rojo en cualquier giro es del 50%. La ruleta ha caído en negro 8 veces seguidas.
Por qué la Casa Siempre Gana
Valor Esperado
El valor esperado (EV) es el resultado promedio que obtendrías si repitieses algo muchas, muchas veces.
La fórmula es:
E(V) = (prize × probability of winning) - cost
Si el valor esperado es positivo, la apuesta favorece a ti a largo plazo.
Si el valor esperado es negativo, la apuesta favorece a la casa a largo plazo.
Esto explica por qué los casinos son rentables. Cada juego que ofrecen tiene un valor esperado negativo para el jugador. Una persona podría ganar mucho, pero a lo largo de miles de apuestas, la matemática siempre favorece a la casa.
Problema de Lotería
Calculemos el valor esperado de una entrada de lotería.
- Una entrada cuesta $2
- La probabilidad de ganar es 1 en 1,000
- El premio es $500
Probabilidad en la Vida Diaria
La Probabilidad Está por Todos Lados
La probabilidad no es solo para casinos y juegos de naipes. Moldea decisiones en el mundo real todos los días.
Predicciones del tiempo: Cuando el pronóstico dice '70% de probabilidad de lluvia', significa que en 100 situaciones similares, llovía aproximadamente 70 veces. No significa que el 70% del área reciba lluvia, o que llueva el 70% del día.
Análisis deportivos: Los equipos utilizan la probabilidad para decidir cuándo intentar anotar en cuarto down, cuándo sacar un portero o cuándo batear. Moneyball fue una revolución de probabilidad.
Pruebas médicas: Este es donde la probabilidad se vuelve realmente contraintuitiva: donde el malentendido puede causar daño real.
Problema de la Prueba Médica
El Rompecabezas de la Positiva Falsa
Este es uno de los problemas más famosos en probabilidad. Lee con atención.
- Una enfermedad afecta a 1 en 1,000 personas en la población.
- Una prueba para la enfermedad es 99% precisa: lo que significa que identifica correctamente a las personas enfermas el 99% del tiempo y correctamente identifica a las personas sanas el 99% del tiempo.
- Tomas la prueba y obtienes un resultado positivo.
La mayoría de las personas, incluidos muchos médicos, se equivocan en esto.
Lo Que Has Aprendido
Resumen
Has cubierto mucho terreno en esta lección:
- Probabilidad básica: P(event) = favorable / total
- Eventos compuestos: Y significa multiplicar, O significa sumar
- El error del apostador: los resultados del pasado no afectan los eventos futuros independientes
- Valor esperado: el resultado promedio a largo plazo de una apuesta
- Tasas básicas y falsos positivos: por qué un resultado positivo no significa siempre que estás enfermo
La probabilidad es una de las ramas de las matemáticas más prácticas. No te hará más afortunado, pero te ayudará a tomar mejores decisiones.