أربعة تحويلات

تحريك الأشكال دون كسرها

التحويل هو قاعدة تحرك أو تغير كل نقطة من نقاط الشكل. هناك أربعة تحويلات أساسية:

الترجمة (الانزلاق): حرك كل نقطة نفس المسافة في نفس الاتجاه. الشكل لا يدور ولا ينقلب.

الدوران (الالتفاف): أدر الشكل حول نقطة ثابتة (مركز الدوران) بزاوية معينة.

الانعكاس (القلب): اقلب الشكل على خط (خط الانعكاس)، مما ينتج صورة معكوسة.

التمدد (التحجيم): وسّع أو صغّر الشكل من نقطة مركزية بعامل تحجيم.

الثلاثة الأولى: الترجمة والدوران والانعكاس: تسمى الحركات الصارمة لأنها تحافظ على الشكل والحجم. النتيجة متطابقة دائماً مع الأصل.

التمدد يغير الحجم لكن يحافظ على الشكل. النتيجة متشابهة مع الأصل.

تمرين الانعكاس

الانعكاس على محور

عندما تعكس نقطة على محور y، تتغير الإحداثية x (الموجب يصبح سالب أو العكس) بينما تبقى الإحداثية y كما هي.

ما هو الإثبات؟

منطق الهندسة

الإثبات الهندسي هو حجة منطقية توضح سبب صحة العبارة بالضرورة. لا يكفي القول إن شيئاً ما يبدو صحيحاً: يجب أن توضح لماذا هو صحيح.

يتبع كل إثبات سلسلة:

المعطيات (ما تبدأ به) → العبارة (ادعاء) → السبب (لماذا هذا الادعاء صحيح) → ... → الاستنتاج

يجب أن يكون كل سبب واحداً من ثلاثة أشياء:

- التعريف (مثال: 'الزاوية القائمة هي 90 درجة')

- الفرضية (حقيقة أساسية نقبلها بدون إثبات، مثال: 'من خلال أي نقطتين هناك خط واحد بالضبط')

- النظرية (شيء تم إثباته بالفعل، مثال: 'الزوايا المتقابلة بالرأس متساوية')

الإثباتات هي عمود الهندسة. وهكذا بنى علماء الرياضيات المعرفة لأكثر من 2000 سنة، بدءاً من عناصر إقليدس.

الخطوط المتوازية والزوايا

حقيقة هندسة كلاسيكية

عندما تقطع خطوط متوازية مستعرضة (خط يقطع كليهما)، يتم إنشاء عدة علاقات زاوية.

واحدة من أهمها: الزوايا الداخلية المتبادلة: الزوايا على جانبي متقابلين من المستعرضة، بين الخطوط المتوازية.

SOH-CAH-TOA

النسب داخل المثلثات القائمة

يبدأ علم المثلثات بملاحظة بسيطة: في المثلث القائم، إذا كنت تعرف إحدى الزوايا الحادة، فإن النسب بين الجوانب ثابتة: بغض النظر عن حجم المثلث.

لأي زاوية حادة θ في مثلث قائم:

الجيب (sin θ) = المقابل / الوتر

جيب التمام (cos θ) = المجاور / الوتر

الظل (tan θ) = المقابل / المجاور

الحروف الاستدلالية SOH-CAH-TOA تساعدك على التذكر:

- Sine = Opposite / Hypotenuse (الجيب = المقابل / الوتر)

- Cosine = Adjacent / Hypotenuse (جيب التمام = المجاور / الوتر)

- Tangent = Opposite / Adjacent (الظل = المقابل / المجاور)

هذه النسب هي نفسها لجميع المثلثات القائمة المتشابهة مع نفس الزوايا. مثلث 30-60-90 صغير جداً ومثلث 30-60-90 ضخم لهما نفس قيم الجيب والتمام والظل.

استخدام الجيب

حل باستخدام علم المثلثات

يحتوي المثلث القائم على زاوية 30°. الجانب المقابل لزاوية 30° هو 5 سم.

تم إعطاؤك أن sin 30° = 0.5.

أين توجد الهندسة

الهندسة موجودة في كل مكان

المفاهيم التي تعلمتها: التطابق والتشابه والتحويلات والإثباتات وعلم المثلثات: ليست مجرد أفكار في الفصول الدراسية. إنها أدوات يستخدمها الناس كل يوم في العالم الحقيقي:

الهندسة المعمارية: تستخدم المباني المثلثات للقوة الهيكلية. المثلث هو المضلع الوحيد الذي لا يمكن تشويهه بدون تغيير أطوال الأضلاع. لهذا السبب، روابط السقف والجسور والرافعات مليئة بالمثلثات.

الملاحة: يستخدم التثليث الزوايا من نقطتين معروفتين للعثور على موضع نقطة ثالثة. وهكذا تحدد أقمار نظام تحديد المواقع العالمي موقعك.

رسومات الحاسوب: يتم صنع كل نموذج ثلاثي الأبعاد في لعبة فيديو أو فيلم من آلاف المثلثات الصغيرة (شبكات المضلعات). التحويلات (الترجمة والدوران والتحجيم) تحرك تلك النماذج حول الشاشة.

الرياضة: زاوية انعكاس كرة البلياردو عن الوسادة تساوي زاوية اقترابها. يحسب لاعبو كرة السلة زوايا الرمي. يستخدم لاعبو التزلج زوايا المنحدرات.

الهندسة: يجب أن تناسب الأجزاء الميكانيكية ضمن تسامحات تقاس بأجزاء من الألف من البوصة. تضمن الإثباتات الهندسية أن التصاميم ستعمل قبل بناء أي شيء.

مسألة السلم

ضع كل شيء معاً

يميل سلم على حائط. يلمس السلم الحائط على ارتفاع 12 قدماً. قاعدة السلم تبعد 5 أقدام عن الحائط.

الحائط والأرض والسلم يشكلان مثلثاً قائماً.