四種變換

移動形狀而不破壞它們

變換 是一條規則，將圖形的每個點移動或改變。有四種基本變換：

平移（滑動）：將每個點以相同方向相同距離移動。形狀不旋轉或翻轉。

旋轉（轉動）：圍繞固定點（旋轉中心）將圖形轉動給定的角度。

反射（翻轉）：沿著一條線（反射線）翻轉圖形，產生鏡像。

縮放（放大/縮小）：從中心點按比例因子放大或縮小圖形。

前三個：平移、旋轉和反射：被稱為剛體運動，因為它們保持形狀和大小不變。結果總是與原始全等。

縮放改變大小但保持形狀。結果與原始相似。

反射練習

在軸上反射

當你沿著 y 軸 反射一個點時，x 坐標改變符號（正變負，或反之），而 y 坐標保持不變。

什麼是證明？

幾何的邏輯

幾何證明 是一個邏輯論證，顯示為什麼一個陳述必須是真的。說些看起來真的事情是不夠的：你必須展示為什麼 它是真的。

每個證明遵循一條鏈：

給定（你開始的東西）→ 陳述（一個聲明）→ 原因（為什麼該聲明是真的）→ ... → 結論

每個原因必須是以下三個之一：

- 一個定義（例如，'直角是 90 度'）

- 一個公理（一個基本真理，我們接受而無需證明，例如，'通過任何兩個點，恰好有一條線'）

- 一個定理（已經證明的東西，例如，'對頂角相等'）

證明是幾何的支柱。這是數學家如何在 2000 多年來建立知識的方式，從歐幾里得的 Elements 開始。

平行線和角

一個經典的幾何事實

當兩條平行線被橫截線（穿過兩條線的線）切割時，會產生幾個角度關係。

其中最重要的一個：交替內角：在橫截線的對側，在平行線之間的角。

SOH-CAH-TOA

直角三角形內的比率

三角法從一個簡單的觀察開始：在直角三角形中，如果你知道其中一個銳角，邊的比率 是固定的：無論三角形有多大或多小。

對於直角三角形中的任何銳角 θ：

正弦 (sin θ) = 對邊 / 斜邊

餘弦 (cos θ) = 鄰邊 / 斜邊

正切 (tan θ) = 對邊 / 鄰邊

助記符 SOH-CAH-TOA 幫助你記住：

- Sine = Opposite / Hypotenuse

- Cosine = Adjacent / Hypotenuse

- Tangent = Opposite / Adjacent

這些比率對於所有具有相同角的相似直角三角形都是相同的。一個微小的 30-60-90 三角形和一個巨大的 30-60-90 三角形具有相同的正弦、餘弦和正切值。

使用正弦

使用三角法求解

直角三角形有一個 30° 的角。30° 角的對邊 是 5 厘米。

你得知 sin 30° = 0.5。

幾何無處不在

幾何無處不在

你學到的概念：全等、相似、變換、證明和三角法：不僅是課堂的想法。它們是每天在現實世界中使用的工具：

建築：建築物使用三角形來獲得結構強度。三角形是唯一無法在不改變邊長的情況下變形的多邊形。這就是為什麼屋頂桁架、橋樑和起重機充滿了三角形。

導航：三角測量使用來自兩個已知點的角度來找到第三個點的位置。這就是 GPS 衛星如何確定你的位置的方式。

計算機圖形：視頻遊戲或電影中的每個 3D 模型都由數千個微小的三角形組成（多邊形網格）。變換（平移、旋轉、縮放）在屏幕周圍移動這些模型。

運動：臺球在緩衝墊上的反射角等於其接近的角度。四分衛計算投擲角度。滑冰者使用坡道角度。

工程：機械部件必須適應以千分之一英寸測量的公差。幾何證明確保設計在構建任何東西之前都能工作。

梯子問題

將所有內容結合在一起

梯子靠著牆。梯子接觸牆距地面 12 英尺高。梯子的底部距離牆5 英尺。

牆、地面和梯子形成直角三角形。