4つの変換

形を壊さずに動かす

変換は、図形のすべての点を移動または変更するルールです。4つの基本的な変換があります：

平行移動（スライド）：すべての点を同じ方向に同じ距離だけ移動します。形は回転したり反転したりしません。

回転（ターン）：固定点（回転の中心）を中心に、図形を与えられた角度だけ回転させます。

反射（フリップ）：図形を線（反射線）の上でフリップして、鏡像を作成します。

拡大縮小（スケール）：中心点から、スケール係数によって図形を拡大または縮小します。

最初の3つ：平行移動、回転、反射は、形とサイズの両方を保存するため、剛体運動と呼ばれます。結果は常に元の図形と合同です。

拡大縮小はサイズを変更しますが、形を保存します。結果は元のものと似ています。

反射練習

軸を介した反射

点をy軸を介して反射する場合、x座標が符号を変更し（正が負になるか、その逆）、y座標は同じままです。

証明とは何か？

幾何学の論理

幾何学的証明は、ステートメントが真であるはずの理由を示す論理的な議論です。何かが真に見えると言うだけでは不十分です。なぜそれが真であるかを示す必要があります。

すべての証明は鎖に従います：

与えられたもの（始めるもの）→ ステートメント（主張）→ 理由（その主張が真である理由）→ ... → 結論

各理由は3つのいずれかである必要があります：

- 定義（例：「直角は90度」）

- 公理（証明なしで受け入れる基本的な真実、例：「任意の2つの点を通して、正確に1つの線があります」）

- 定理（すでに証明されたもの、例：「対角は等しい」）

証明は幾何学の骨格です。数学者がどのように2,000年以上にわたって知識を構築してきたかです。ユークリッドの要素から始まります。

平行線と角度

古典的な幾何学的事実

2つの平行線が横断線（両方を横切る線）で切られる場合、いくつかの角度関係が作成されます。

最も重要なもの の1つ：交互内角：横断線の反対側の角度、平行線の間。

SOH-CAH-TOA

直角三角形内の比率

三角法は単純な観察から始まります：直角三角形では、いずれかの鋭角がわかっている場合、辺の比率は固定されています。三角形がどれほど大きいか小さいかに関わらず。

直角三角形の任意の鋭角θに対して：

サイン（sin θ） = 対辺 / 斜辺

コサイン（cos θ） = 隣辺 / 斜辺

タンジェント（tan θ） = 対辺 / 隣辺

ニーモニックSOH-CAH-TOAは覚えるのに役立ちます：

- Sine = Opposite / Hypotenuse

- Cosine = Adjacent / Hypotenuse

- Tangent = Opposite / Adjacent

これらの比率は、同じ角度を持つすべての相似直角三角形で同じです。小さい30-60-90三角形と大きい30-60-90三角形は、同じサイン、コサイン&タンジェントの値を持っています。

サインの使用

三角法で解く

直角三角形は30°の角度を持っています。30°の角度の対辺は5 cmです。

sin 30° = 0.5が与えられています。

幾何学が生きている場所

幾何学はどこにでもあります

あなたが学んだ概念：合同性、相似性、変換、証明、三角法は、単なる教室のアイデアではありません。それらは現実の世界で毎日使われるツールです：

建築：建物は構造的な強度のために三角形を使用しています。三角形は、辺の長さを変更することなく変形できない唯一の多角形です。屋根のトラス、橋、クレーンが三角形でいっぱいである理由です。

ナビゲーション：三角測量は、2つの既知のポイントからの角度を使用して、3番目のポイントの位置を見つけます。これはGPS衛星があなたの位置をどのように決定するかです。

コンピュータグラフィックス：ビデオゲームや映画のすべての3Dモデルは、何千もの小さな三角形（多角形メッシュ）で構成されています。変換（平行移動、回転、スケーリング）は、それらのモデルを画面の周りに移動します。

スポーツ：ビリヤード玉のクッションからの反射の角度は、その接近角度に等しい。クォーターバックは投球角を計算します。スケートボーダーはランプの角度を使用しています。

エンジニアリング：機械部品は、1インチの1000分の1で測定された許容範囲内に適合する必要があります。幾何学的証明は、何かが構築される前に設計が機能することを確認します。

はしご問題

すべてをまとめる

はしごは壁に寄りかかっています。はしごは壁に12フィート上に触れます。はしごのベースは壁から5フィートです。

壁、地面&はしごは直角三角形を形成します。