कोणता वाले और समान
दो तरह से आकृतियाँ संबंधित हो सकती हैं
ज्यामिति में, दो आकृतियाँ दो महत्वपूर्ण तरह से संबंधित हो सकती हैं:
कोणता (≅) का अर्थ है आकृतियाँ एक ही आकार और एक ही आकार की होती हैं। हर साइड और हर कोण बिल्कुल मिलते हैं। अगर आप एक को काट लें और दूसरे पर रखें, वे बिल्कुल सही संरेखित होते।
समान (~) का अर्थ है आकृतियाँ एक ही आकार लेकिन अलग-अलग आकार की होती हैं। उनके सभी कोण बराबर हैं, लेकिन साइड्स अनुपातीय होते हैं: एक आकृति दूसरे का स्केल्ड-अप या स्केल्ड-डाउन संस्करण होती है।
इस तरह सोचने की बात: 100% का फोटोकॉप बनाता है कोणता कॉपी। 150% का फोटोकॉप बनाता है समान कॉपी: एक ही आकार, बड़े आकार।
त्रिकोण कोणता परीक्षण
त्रिकोण कोणता का प्रमाण
एक त्रिकोण में 6 माप होते हैं: 3 साइड्स और 3 कोण। लेकिन आप दो त्रिकोणों को कोणता के बराबर नहीं साबित कर सकते। ऐसे शॉर्टकट हैं:
SSS (साइड-साइड-साइड): अगर एक त्रिकोण की सभी तीन साइडें दूसरे त्रिकोण की सभी तीन साइडों के बराबर हों, तो त्रिकोण कोणता के बराबर होते हैं।
SAS (साइड-एंगल-साइड): अगर दो साइड्स और सम्मिलित कोण (उन दो साइड्स के बीच का कोण) बराबर हों, तो त्रिकोण कोणता के बराबर होते हैं।
ASA (एंगल-साइड-एंगल): अगर दो कोण और सम्मिलित साइड (उन दो कोणों के बीच की साइड) बराबर हों, तो त्रिकोण कोणता के बराबर होते हैं।
AAS (एंगल-एंगल-साइड): अगर दो कोण और एक अवर साइड बराबर हों, तो त्रिकोण कोणता के बराबर होते हैं।
सावधान: AAA एक कोणता परीक्षण नहीं है: दो त्रिकोणों को सभी समान कोण लेकिन अलग-अलग साइज के हो सकते हैं। जिससे वे समान होते हैं, नहीं कोणता।
कोणता जाँच
अपने ज्ञान का प्रयोग करें
दो त्रिकोणों की साइड्स की माप 5, 12, & 13 यूनिट है। दूसरे त्रिकोण की भी साइड्स की माप 5, 12, & 13 यूनिट हैं।
चार परिवर्तन
आकार बदलिए बिना आकार को स्थानांतरित करें
एक परिवर्तन एक नियम है जो एक आकार के हर बिन्दु को स्थानांतरित या बदलता है। चार मौलिक परिवर्तन हैं:
अनुवाद (स्लाइड): हर बिन्दु को समान दूरी में समान दिशा में स्थानांतरित करें। आकार नहीं घूमता या उल्टा होता है।
प्रोटेशन (घूमना): आकार को किसी निर्दिष्ट बिन्दु (केंद्रीय घूमने के बिन्दु) के चारों ओर एक निर्दिष्ट कोण पर घूमा दें।
प्रतिबिम्ब (उल्टा): आकार को एक रेखा (प्रतिबिम्बण की रेखा) के ऊपर फ्लिप करें, एक आइने की छवि बनाते हुए।
विस्तार (माप): केंद्र बिन्दु से एक विस्तार कारक द्वारा आकार को बढ़ाएं या सिकोड़ें।
पहले तीन: अनुवाद, घूमना और प्रतिबिम्बण: सख्त गतियों के रूप में जाने जाते हैं क्योंकि वे आकार और आकार दोनों को संरक्षित करते हैं। परिणाम हमेशा मूल के समानांतर होता है।
विस्तार आकार को बदल देता है, लेकिन आकार को संरक्षित रखता है। परिणाम मूल के समान होता है।
प्रतिबिम्बण अभ्यास
एक अक्ष के ऊपर प्रतिबिम्बण
जब आप एक बिन्दु को य-軸 के ऊपर प्रतिबिम्बित करते हैं, तो x-निर्देशक का संकेत बदल जाता है (स्थानीय बना नकारात्मक, या इसके विपरीत) वही य-निर्देशक रहता है।
प्रमाण क्या है?
ज्यामितीय तर्क
एक ज्यामितीय प्रमाण एक तर्क है जो किसी कथन के सत्य होने के कारण दिखाता है। बस इतना कहने की जरूरत नहीं है कि कुछ सत्य दिखता है: आपको क्यों सत्य होना चाहिए, यह दिखाना होगा।
प्रत्येक प्रमाण एक श्रृंखला का अनुसरण करता है:
दिया (आप शुरुआत के साथ) → कलम (एक दावा) → कारण (कलम की सच्चाई क्यों है) → ... → निष्कर्ष
प्रत्येक कारण में से तीन चीजें हो सकती हैं:
- एक परिभाषा (उदाहरण के लिए, 'एक सही कोण 90 डिग्री है')
- एक पोस्टुलेट (एक ऐसी सच्चाई जिसे प्रमाण के बिना स्वीकार किया जाता है, उदाहरण के लिए, 'किसी भी दो बिन्दु के बीच केवल एक रेखा होती है')
- एक सिद्धांत (जैसे कि, 'तिर्यक कोण समान होते हैं')
सिद्धांत गणित के आधार हैं। वे गणितज्ञों ने 2,000 साल से अधिक समय से ज्ञान का निर्माण किया है, यूक्लिड के Elements से शुरू करते हुये।
समान्तर रेखाएँ और कोण
एक क्लासिक ज्यामिति तथ्य
जब दो समान्तर रेखाएँ एक transversal (दोनों को पार करती हुई रेखा) द्वारा काटी जाती हैं, तो कई कोण संबंधों का निर्माण होता है।
सबसे महत्वपूर्ण में से एक: alternate interior angles - transversal के दोनों ओर, समान्तर रेखाओं के बीच के कोण।
SOH-CAH-TOA
निम्नांकित त्रिकोणों के अंतर्गत अनुपात
त्रिकोणमिति की शुरुआत एक सरल सूचना से होती है: एक निम्नांकित त्रिकोण में, यदि आप एक कोण की जानकारी प्राप्त करते हैं, तो त्रिज्यों के अनुपात निर्धारित होते हैं: चाहे त्रिकोण का आकार कितना भी बड़ा या छोटा हो।
किसी भी कोण θ के लिए निम्नांकित त्रिकोण में:
साइन (sin θ) = विपरीत भुजा / हाइपोटेन्यूज़
कोसाइन (cos θ) = समीपस्थ भुजा / हाइपोटेन्यूज़
टैंजेंट (tan θ) = विपरीत भुजा / समीपस्थ भुजा
मेमोरी जगर SOH-CAH-TOA आपको याद रखने में मदद करता है:
- Sाइन = Oप्पोजिट / HYPOTENUSE
- COSINE = ADJACENT / HYPOTENUSE
- TANGENT = OPPOSITE / ADJACENT
इन अनुपातों को सभी समान त्रिभुजों के लिए समान होते हैं जिनमें समान कोण होते हैं। एक छोटा 30-60-90 त्रिकोण और एक बड़ा 30-60-90 त्रिकोण समान साइन, कोसाइन और टैंजेंट मानों को साझा करते हैं।
साइन का प्रयोग
त्रिकोणमिति से समाधान
एक निम्नांकित त्रिकोण कोण 30° है। 30° के कोण के विपरीत पक्ष 5 सेमी है।
आपको यह दिया गया है कि sin 30° = 0.5।
भूगोल कहाँ रहता है
भूगोल हर जगह है
जो आप सीखे हैं: समकोणता, समानता, परिवर्तित, प्रमाण, और त्रिकोणमिति: ये सिर्फ पाठशाला के विचार नहीं हैं। ये हर रोज वास्तविक दुनिया में उपयोग किए जाने वाले उपकरण हैं:
अर्किटेक्चर: इमारतें त्रिकोणों के लिए संरचनात्मक शक्ति का उपयोग करती हैं। त्रिकोण को किसी भी पक्ष को बदले बिना विकृत नहीं किया जा सकता। इसलिए छत के ट्रूस, पुल और क्रेन सभी त्रिकोणों से भरे हुए हैं।
नेविगेशन: त्रिकोणता दो ज्ञात बिंदु के कोणों का उपयोग तीसरे बिंदु की स्थिति प्राप्त करने के लिए करती है। इसी तरह से GPS उपग्रह आपकी स्थिति का निर्धारण करते हैं।
कम्प्यूटर ग्राफिक्स: हर 3D मॉडल में वीडियो गेम या फिल्म में हजारों छोटे त्रिकोण (पॉलिगन मेश) होते हैं। परिवर्तित (अनुवाद, घूमना, पैमाना) उन मॉडलों को स्क्रीन पर घूमाने के लिए।
खेल: बिलियर्ड की गेंद की परावर्तन का कोण उसके प्रवेश के कोण के बराबर होता है। क्वार्टरबैक फेंक के कोण को निकालते हैं। स्केटबोर्डर्स रैम्प के कोण का उपयोग करते हैं।
इंजीनियरिंग: मैकेनिकल भागों को संतोषपूर्वक मापदंडों में हजारों के हजारों इंच मापा जाता है। भूगोलीय प्रमाण उस डिज़ाइन को पहले कुछ बनाए जाने से काम करने की गारंटी देता है।
लैडर प्रॉब्लम
सब कुछ साथ में जोड़ें।
एक लैडर एक दीवार के खिलाफ लेटा हुआ है। लैडर दीवार को 12 फीट तक छूता है। लैडर की आधार रेखा दीवार से 5 फीट की दूरी पर है।
दीवार, धरती और लैडर एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं।