Zgromadzony vs. Podobny
Dwie Sposoby, Które Kształty Mogą być Związane
W geometrii, dwa obiekty mogą być związane w dwóch ważnych sposobach:
Zgromadzony (≅) oznacza, że obiekty mają taką samą kształt i taką samą wielkość. Każda strona i każdy kąt pasuje dokładnie. Jeśli wycięcesz jeden i umieścisz go na drugim, zgadzają się dokładnie.
Podobny (~) oznacza, że obiekty mają taką samą kształt, ale różne wielkości. Wszystkie ich kąty są równe, ale boki są proporcjonalne: jeden obiekt jest wersją zwiększoną lub zmniejszoną drugiego.
Myśl o tym tak: kopia fotograficzna na 100% tworzy zgodną kopię. Kopia fotograficzna na 150% tworzy podobną kopię: taki sam kształt, większa wielkość.
Testy Zgromadzenia Trójkątów
Dowodzenie Trójkątów Zgromadzonych
Trójkąt ma 6 miar: 3 boki i 3 kąty. Ale nie potrzebujesz wszystkich 6, aby wykazać, że dwa trójkąty są zgromadzeni. Są krótkie:
SSS (Bok-Bok-Bok): Jeśli wszystkie trzy boki jednego trójkąta równają się wszystkim trzem bokom drugiego, trójkąty są zgromadzone.
SAS (Bok-Kąt-Bok): Jeśli dwa boki i wklęsły kąt (kąt między tymi dwoma bokami) są równymi, trójkąty są zgromadzone.
ASA (Kąt-Bok-Kąt): Jeśli dwa kąty i wklęsły bok (bok między tymi dwoma kątami) są równymi, trójkąty są zgromadzone.
AAS (Kąt-Kąt-Bok): Jeśli dwa kąty i bok niezwiązany są równymi, trójkąty są zgromadzone.
Zauważ, że AAA nie jest testem zgromadzenia: dwa trójkąty mogą mieć wszystkie te same kąty, ale być różnych rozmiarów. To sprawia, że są podobne, a nie zgromadzone.
Sprawdzanie Zgromadzenia
Zastosuj To, Co Wiesz
Dwa trójkąty mają boki o długości 5, 12 i 13 jednostek. Drugi trójkąt również ma boki o długości 5, 12 i 13 jednostek.
Cztery przekształcenia
Przenoszenie kształtów bez ich niszczenia
Przekształcenie to jest regułą, która przesuwa lub zmienia każdy punkt figury. Istnieją cztery podstawowe przekształcenia:
Przekształcenie (przesuwanie): Przesuń każdy punkt o tę samą odległość w tą samą stronę. Kształt nie obraca się ani nie odwraca.
Obrot (obrot): Obróć figurę wokół stałego punktu (środka obrotu) o daną kąt.
Odbicie (odwrócenie): Odbij figurę nad linią (lina odbicia), tworząc jej obraz lustrzany.
Rozciąganie (skala): Powiększ lub zmniejsz figurę z punktu środkowego za pomocą współczynnika skali.
Pierwsze trzy: przesunięcie, obrot i odbicie, są nazywane ruchami sztywnymi, ponieważ zachowują kształt i rozmiar. Wynik zawsze jest podobny do pierwotnego.
Rozciąganie zmienia rozmiar, ale zachowuje kształt. Wynik jest podobny do pierwotnego.
Praktyka odbicia
Odbicie nad osią
Gdy odbijesz punkt nad osią y, znak koordynaty x zmienia się (pozytyw staje się ujemny, lub odwrotnie) podczas gdy koordynata y pozostaje taka sama.
Co to jest dowód?
Logika geometrii
Dowód geometryczny to logiczne argumentowanie, które pokazuje, dlaczego stwierdzenie musi być prawdziwe. Nie wystarczy powiedzieć, że coś wygląda na prawdziwe: musisz pokazać dlaczego jest prawdziwe.
Każdy dowód opiera się na łańcuchu:
Dane (od czego zaczynasz) → Stwierdzenie (rozkład) → Powód (dlaczego to stwierdzenie jest prawdziwe) → ... → Wynik
Każdy powód musi być jednym z trzech rzeczy:
- Definicja (np. 'wielokąt prostokątny to wielokąt, który ma jeden prosty kąt')
- Aksjomat (podstawowa prawda, którą przyjmujemy bez dowodu, np. 'przez każde dwa punkty przebiega dokładnie jedna prosta')
- Teorema (coś, co już zostało udowodnione, na przykład 'wewnętrzne kąty są równe')
Dowody są podstawą geometrii. To właśnie za ich pomocą matematycy budowali wiedzę przez ostatnie 2 000 lat, zaczynając od Elementów Euklidesa.
Prawie proste i kąty
Klasyczne fakt geometryczny
Gdy dwie równoległe proste są przecinane linią prostopadłą (linią przecinającą obie równoległe proste), powstają kilka związków kątowych.
Jednym z najważniejszych jest alternatywne wewnętrzne kąty: kąty po przeciwnych stronach przecinającej lini, między równoległymi prostymi.
SOH-CAH-TOA
Stosunki w prawych trójkątach
Trygonometria zaczyna się od prostej obserwacji: w prawym trójkącie, jeśli wiesz, jaki jest jeden z kątów ostrych, stosunki boków są stałe: niezależnie od wielkości lub małego trójkąta.
Dla dowolnego kąta ostrych θ w trójkącie prostokątnym:
Sine (sin θ) = Przeciwny / Hipoteniza
Cosine (cos θ) = Sąsiedni / Hipoteniza
Tangent (tan θ) = Przeciwny / Sąsiedni
Mnemonika SOH-CAH-TOA pomaga zapamiętać:
- Sine = Opposite / Hypotenuse
- Cosine = Adjacent / Hypotenuse
- Tangent = Opposite / Adjacent
Te stosunki są takie same dla wszystkich podobnych trójkątów prostokątnych o tych samych kątach. Mały 30-60-90 trójkąt & duży 30-60-90 trójkąt mają te same wartości sin, cos & tan.
Wykorzystanie sin
Rozwiązywanie z trygonometrią
Prawy trójkąt ma kąt 30°. Bok przeciwny kątu 30° wynosi 5 cm.
Dane są, że sin 30° = 0.5.
Gdzie żyje geometria
Geometria wszędzie jest
Pojęcia, które nauczysz się: podobieństwo, podobieństwo, transformacje, dowody i trygonometria: nie są to tylko pomysły z sali lekcyjnej. Są to narzędzia używane każdego dnia w rzeczywistym świecie:
Architektura: Budynki używają trójkątów dla zdolności do utrzymania strukturalnego. Trójkąt jest jedynym wielokątem, który nie może być deformowany bez zmiany długości boków. Dlatego dachówki, mosty i drabiny są pełne trójkątów.
Nawigacja: Triangulacja używa kątów z dwóch znanych punktów, aby znaleźć pozycję trzeciego. To jest jak satelity GPS określają Twoją lokalizację.
Obliczenia komputerowe: Każde 3D model w grze komputerowej lub filmie składa się z tysięcy małych trójkątów (pola wielokąta). Transformacje (przesunięcie, obrót, skalowanie) przesuwają te modele po ekranie.
Sport: Kąt odbicia piłki billiard off cushion równa się kątowi podejścia. Kwarantannie obliczają kąty rzutu. Łączący używa kątów ramp.
Inżynieria: Elementy mechaniczne muszą pasować do tolerancji, zmierzonych w tysięcznych cali. Dowody geometryczne zapewniają, że projekty będą działać przed tym, zanim coś zostanie zbudowane.
Problem drabiny
Wszystko razem
Drabina opiera się o ścianę. Drabina dotyka ściany 12 stóp wyżej. Podstawa drabiny jest 5 stóp od ściany.
Ściana, ziemia i drabina tworzą trójkąt prostokątny.