Bốn Chuyển đổi

Di chuyển hình dạng mà không làm vỡ nó

Một chuyển đổi hình học là một quy tắc di chuyển hoặc thay đổi mọi điểm của một hình. Có bốn chuyển đổi cơ bản:

Chuyển đổi (di chuyển): Di chuyển mọi điểm một khoảng cách giống nhau theo một hướng giống nhau. Hình không được quay hoặc lật.

Độ quay (vòng): Quay hình xung quanh một điểm cố định (trung tâm quay) với một góc nhất định.

Gương chiếu (lật): Lật hình qua một đường thẳng (đường gương) tạo ra hình ảnh phản chiếu.

Nhiễu đại (toàn): Làm tăng hoặc giảm kích thước hình từ một điểm trung tâm với một hệ số nhiễu đại.

Ba chuyển đổi đầu tiên: di chuyển, quay và gương chiếu được gọi là chuyển động cứng nhắc vì chúng giữ nguyên hình dạng và kích thước. Kết quả luôn luôn giống nhau so với hình gốc.

Nhiễu đại thay đổi kích thước nhưng giữ nguyên hình dạng. Kết quả là giống hệt với hình gốc.

Thực hành gương chiếu

Gương chiếu qua một trục

Khi bạn gương chiếu một điểm qua trục y, tọa độ x thay đổi dấu (dương thành âm hoặc ngược lại) trong khi tọa độ y giữ nguyên.

Giống là gì?

Logic của hình học

Một bằng chứng hình học là một lập luận lô-gic chứng minh lý do tại sao một tuyên bố phải là sự thật. Nó không đủ chỉ nói rằng điều gì đó trông có vẻ đúng: bạn phải chứng minh lý do tại sao nó đúng.

Mọi bằng chứng đều tuân theo một chuỗi:

Được đưa ra (bắt đầu từ đâu) → Tuyên bố (một tuyên bố) → Lý do (lý do tuyên bố đó là sự thật) → ... → Kết luận

Mỗi lý do phải là một trong ba điều:

- Một định nghĩa (ví dụ: 'góc vuông là 90 độ')

- Một định lý (một sự thật cơ bản chúng ta chấp nhận mà không cần bằng chứng, ví dụ: 'qua hai điểm nào đó có một đường thẳng nhất định')

- Một luật (một điều đã được chứng minh, ví dụ như 'các góc đối nhau là bằng nhau')

Các chứng minh là nền tảng của hình học. Chúng là cách các nhà toán học đã xây dựng kiến thức trong hơn 2.000 năm, bắt đầu từ tác phẩm Elements của Euclid.

Các đường thẳng song song và góc

Một thực tế hình học cổ điển

Khi hai đường thẳng song song bị một đường chéo (một đường thẳng cắt qua cả hai) cắt, một số mối quan hệ góc được tạo ra.

Một trong những quan trọng nhất: các góc alternate interior: các góc ở hai bên của đường chéo, giữa hai đường thẳng song song.

SOH-CAH-TOA

Các tỷ lệ bên trong tam giác vuông

Trigonometria bắt đầu với một quan sát đơn giản: trong một tam giác vuông, nếu bạn biết một trong hai góc nhọn, thì tỷ lệ của các cạnh là cố định: không phụ thuộc vào kích thước của tam giác.

Vì bất kỳ góc nhọn nào θ trong một tam giác vuông:

Sine (sin θ) = Cạnh đối / Cạnh hypotenuse

Cosine (cos θ) = Cạnh kề / Cạnh hypotenuse

Tangent (tan θ) = Cạnh đối / Cạnh kề

Mnemonic SOH-CAH-TOA giúp bạn nhớ:

- Sine = Opposite / Hypotenuse

- Cosine = Adjacent / Hypotenuse

- Tangent = Opposite / Adjacent

Các tỷ lệ này giống nhau cho tất cả các tam giác vuông tương tự có cùng các góc. Một tam giác 30-60-90 nhỏ và một tam giác 30-60-90 lớn có cùng các giá trị sine, cosine và tangent.

Sử dụng Sine

Giải quyết với Trigonometria

Một tam giác vuông có một góc là 30°. Cạnh đối với góc 30° là 5 cm.

Bạn được cung cấp rằng sin 30° = 0.5.

Hình học ở đâu

Hình học khắp mọi nơi

Các khái niệm bạn đã học: tương đương, tương tự, biến đổi, chứng minh, trigonometry: không chỉ là ý tưởng trong lớp học. Chúng là các công cụ được sử dụng mỗi ngày trong cuộc sống thực tế:

Kiến trúc: Các tòa nhà sử dụng tam giác cho sự mạnh mẽ cấu trúc. Tam giác là duy nhất polygon không thể biến dạng mà không thay đổi độ dài cạnh. Đó là lý do vì sao mái nhà, cầu và cẩu hàng đều chứa đầy tam giác.

Định vị: Triangulation sử dụng các góc từ hai điểm đã biết để tìm vị trí của một điểm thứ ba. Đây là cách các vệ tinh GPS xác định vị trí của bạn.

Hình ảnh máy tính: Mỗi mô hình 3D trong một game hoặc phim được tạo thành từ hàng nghìn tam giác nhỏ (polygon meshes). Biến đổi (dịch chuyển, xoay, tỷ lệ) di chuyển các mô hình trên màn hình.

Thể thao: Góc của quả bóng bi cầu khi phản lại cánh là bằng góc tiếp cận. Các cầu thủ quarterback tính toán các góc ném. Các tay đua skateboard sử dụng góc ramp.

Kỹ thuật: Các bộ phận cơ khí phải phù hợp với giới hạn được đo lường trong ngàn phần một inch. Các chứng minh hình học đảm bảo rằng các thiết kế sẽ hoạt động trước khi bất kỳ điều gì được xây dựng.

Vấn đề Xà Gồ

Liên kết tất cả mọi thứ

Một xà gồ nằm đối diện một bức tường. Xà gồ chạm vào bức tường 12 feet trên cao. Điểm dựa của xà gồ là 5 feet từ bức tường.

Bức tường, mặt đất và xà gồ tạo thành một tam giác vuông.