Четыре преобразования

Движение фигур без их нарушения

Преобразование — это правило, которое движет или изменяет каждую точку фигуры. Есть четыре фундаментальных преобразования:

Трансляция (сдвиг): Переместите каждую точку на одно и то же расстояние в одном направлении. Фигура не поворачивается и не переворачивается.

Поворот (вращение): Поворачивайте фигуру вокруг фиксированной точки (центра поворота) на заданный угол.

Отражение (зеркало): Отразите фигуру над линией (линия отражения), создав зеркальное изображение.

Масштабирование: Увеличьте или уменьшите фигуру от центральной точки с помощью коэффициента масштаба.

Первые три: трансляция, поворот и отражение: называются жёсткими движениями, потому что они сохраняют и форму, и размер. Результат всегда конгруэнтен оригиналу.

Масштабирование изменяет размер, но сохраняет форму. Результат подобен оригиналу.

Практика отражения

Отражение над осью

Когда вы отражаете точку над осью y, координата x меняет знак (положительное становится отрицательным или наоборот), в то время как координата y остаётся той же.

Что такое доказательство?

Логика геометрии

Геометрическое доказательство — это логический аргумент, который показывает, почему утверждение должно быть верным. Недостаточно сказать, что что-то выглядит верным: вы должны показать почему это верно.

Каждое доказательство следует цепочке:

Дано (с чего вы начинаете) → Утверждение (утверждение) → Причина (почему это утверждение верно) → ... → Вывод

Каждая причина должна быть одной из трех:

- Определение (например, 'прямой угол составляет 90 градусов')

- Постулат (основная истина, которую мы принимаем без доказательства, например, 'через любые две точки есть ровно одна линия')

- Теорема (что-то уже доказанное, например, 'вертикальные углы равны')

Доказательства — это основа геометрии. Это то, как математики накапливали знания более 2000 лет, начиная с Начал Евклида.

Параллельные линии и углы

Классический геометрический факт

Когда две параллельные линии пересекаются трансверсалью (линия, которая пересекает обе), создаются несколько угловых отношений.

Одно из самых важных: внутренние чередующиеся углы: углы по противоположным сторонам трансверсали, между параллельными линиями.

SOH-CAH-TOA

Коэффициенты внутри прямоугольных треугольников

Тригонометрия начинается с простого наблюдения: в прямоугольном треугольнике, если вы знаете один из острых углов, коэффициенты сторон фиксированы: независимо от того, насколько большой или малый треугольник.

Для любого острого угла θ в прямоугольном треугольнике:

Синус (sin θ) = противоположная / гипотенуза

Косинус (cos θ) = прилежащая / гипотенуза

Тангенс (tan θ) = противоположная / прилежащая

Мнемоника SOH-CAH-TOA помогает вам запомнить:

- Sine = Opposite / Hypotenuse (Синус = Противоположная / Гипотенуза)

- Cosine = Adjacent / Hypotenuse (Косинус = Прилежащая / Гипотенуза)

- Tangent = Opposite / Adjacent (Тангенс = Противоположная / Прилежащая)

Эти коэффициенты одинаковы для ВСЕХ подобных прямоугольных треугольников с одинаковыми углами. Крошечный треугольник 30-60-90 & огромный треугольник 30-60-90 имеют одинаковые значения синуса, косинуса & тангенса.

Использование синуса

Решение с помощью тригонометрии

Прямоугольный треугольник имеет угол 30°. Сторона напротив угла 30° составляет 5 см.

Вам дано, что sin 30° = 0.5.

Где живет геометрия

Геометрия повсюду

Концепции, которые вы изучили: конгруэнтность, подобие, преобразования, доказательства и тригонометрия: не просто идеи учебного класса. Это инструменты, используемые каждый день в реальном мире:

Архитектура: Здания используют треугольники для структурной прочности. Треугольник — единственный многоугольник, который не может быть деформирован без изменения длин сторон. Вот почему фермы крыш, мосты и краны полны треугольников.

Навигация: Триангуляция использует углы от двух известных точек, чтобы найти положение третьей. Это то, как спутники GPS определяют вашу местоположение.

Компьютерная графика: Каждая 3D-модель в видеоигре или фильме состоит из тысяч крошечных треугольников (сетки многоугольников). Преобразования (трансляция, поворот, масштабирование) движут эти модели вокруг экрана.

Спорт: Угол отражения бильярдного шара от подушки равен его углу подхода. Квотербеки рассчитывают углы бросков. Скейтбордисты используют углы пандуса.

Инженерия: Механические части должны соответствовать допускам, измеренным в тысячных долях дюйма. Геометрические доказательства гарантируют, что конструкции будут работать до того, как что-то будет построено.

Задача с лестницей

Всё вместе

Лестница опирается на стену. Лестница касается стены на 12 футов вверх. Основание лестницы находится в 5 футах от стены.

Стена, земля & лестница образуют прямоугольный треугольник.