Конгруентне vs. Подібне
Два способи, як можуть бути пов'язані фігури
У геометрії дві фігури можуть мати два важливих способи зв'язку:
Конгруентне (≅) означає, що фігури мають однакову форму І однаковий розмір. Кожна сторона & кожний кут збігаються точно. Якби ви вирізали одну & помістили її на іншу, вони ідеально вирівнялися б.
Подібне (~) означає, що фігури мають однакову форму, але різні розміри. Всі їхні кути рівні, але сторони пропорційні: одна фігура - це збільшена або зменшена версія іншої.
Подумайте про це так: копіювання при 100% дає конгруентну копію. Копіювання при 150% дає подібну копію: однакова форма, більший розмір.
Тести конгруентності трикутників
Доведення конгруентності трикутників
Трикутник має 6 вимірювань: 3 сторони & 3 кути. Але вам не потрібні всі 6, щоб довести конгруентність двох трикутників. Є ярлики:
SSS (Сторона-Сторона-Сторона): Якщо всі три сторони одного трикутника дорівнюють всім трьом сторонам іншого, трикутники конгруентні.
SAS (Сторона-Кут-Сторона): Якщо дві сторони & включений кут (кут між цими двома сторонами) рівні, трикутники конгруентні.
ASA (Кут-Сторона-Кут): Якщо два кути & включена сторона (сторона між цими двома кутами) рівні, трикутники конгруентні.
AAS (Кут-Кут-Сторона): Якщо два кути & невключена сторона рівні, трикутники конгруентні.
Зверніть увагу, що AAA НЕ є тестом конгруентності: два трикутники можуть мати всі однакові кути, але бути різних розмірів. Це робить їх подібними, а не конгруентними.
Перевірка конгруентності
Застосуйте те, що ви знаєте
Два трикутники мають сторони, що вимірюють 5, 12, & 13 одиниць. Другий трикутник також має сторони, що вимірюють 5, 12, & 13 одиниць.
Чотири Трансформації
Переміщення фігур без їх порушення
Трансформація - це правило, яке переміщує або змінює кожну точку фігури. Існують чотири фундаментальні трансформації:
Трансляція (ковзання): Перемістіть кожну точку на ту саму відстань в тому самому напрямку. Фігура не повертається & не перевертається.
Ротація (поворот): Поверніть фігуру навколо фіксованої точки (центру ротації) на заданий кут.
Відбиття (перевертання): Перевертніть фігуру над лінією (лінія відбиття), створюючи дзеркальне зображення.
Дилатація (масштабування): Збільште або зменште фігуру від центральної точки на коефіцієнт масштабування.
Перші три: трансляція, ротація & відбиття: називаються жорсткими рухами, тому що вони зберігають форму & розмір. Результат завжди конгруентний оригіналу.
Дилатація змінює розмір, але зберігає форму. Результат подібний оригіналу.
Практика відбиття
Відбиття через вісь
Коли ви відбиваєте точку через вісь y, x-координата змінює знак (позитивна стає негативною, або навпаки), а y-координата залишається тією самою.
Що таке доказ?
Логіка геометрії
Геометричний доказ - це логічний аргумент, який показує, чому твердження має бути істинним. Недостатньо просто сказати, що щось виглядає правдивим: ви повинні показати чому це правда.
Кожний доказ слідує ланцюжку:
Дано (з чого ви починаєте) → Твердження (претензія) → Причина (чому це твердження правда) → ... → Висновок
Кожна причина має бути однією з трьох речей:
- Визначення (наприклад, 'прямий кут це 90 градусів')
- Постулат (базова істина, яку ми приймаємо без доказу, наприклад, 'через будь-які дві точки існує рівно одна лінія')
- Теорема (щось вже доведене, наприклад, 'вертикальні кути рівні')
Докази - це хребет геометрії. Це те, як математики будували знання протягом понад 2000 років, починаючи з Елементів Евкліда.
Паралельні лінії і кути
Класичний геометричний факт
Коли дві паралельні лінії перетинаються трансверсаллю (лінія, яка перетинає обидві), створюються кілька кутових взаємозв'язків.
Один з найважливіших: альтернативні внутрішні кути: кути на протилежних сторонах трансверсалі, між паралельними лініями.
SOH-CAH-TOA
Співвідношення всередині прямокутних трикутників
Тригонометрія починається з простого спостереження: у прямокутному трикутнику, якщо ви знаєте один з гострих кутів, коефіцієнти сторін фіксовані: незалежно від того, як велики або малі трикутник.
Для будь-якого гострого кута θ у прямокутному трикутнику:
Синус (sin θ) = Протилежна / Гіпотенуза
Косинус (cos θ) = Прилегла / Гіпотенуза
Тангенс (tan θ) = Протилежна / Прилегла
Мнемоніка SOH-CAH-TOA допомагає вам запам'ятати:
- Sine = Opposite / Hypotenuse
- Cosine = Adjacent / Hypotenuse
- Tangent = Opposite / Adjacent
Ці коефіцієнти однакові для ВСІХ подібних прямокутних трикутників з однаковими кутами. Крихіткий трикутник 30-60-90 & величезний трикутник 30-60-90 мають однакові значення синуса, косинуса, & тангенса.
Використання синуса
Розв'яжіть за допомогою тригонометрії
Прямокутний трикутник має кут 30°. Сторона протилежна до кута 30° це 5 см.
Вам дано, що sin 30° = 0.5.
Де живе геометрія
Геометрія всюди
Концепції, які ви вивчили: конгруентність, подібність, трансформації, докази & тригонометрія: це не просто класні ідеї. Це інструменти, які використовуються кожного дня в реальному світі:
Архітектура: Будівлі використовують трикутники для структурної міцності. Трикутник - це єдиний багатокутник, який не можна деформувати без зміни довжин сторін. Тому ферми дахів, мости & крани повні трикутників.
Навігація: Тріангуляція використовує кути з двох відомих точок, щоб знайти положення третьої. Це те, як супутники GPS визначають вашу локацію.
Комп'ютерна графіка: Кожна 3D модель у відеограві або фільмі складена з тисяч крихітних трикутників (поліганальні сітки). Трансформації (трансляція, ротація, масштабування) переміщують ці моделі по екрану.
Спорт: Кут відбиття більярдної кулі від подушки дорівнює її куту підходу. Квотербеки розраховують кути кидання. Скейтбордисти використовують кути пандусів.
Машинобудування: Механічні деталі повинні відповідати толерансам, виміряним в тисячних частках дюйма. Геометричні докази забезпечують, що конструкції працюватимуть перед тим, як щось буде побудовано.
Задача із сходами
Все разом
Сходи прислоняються до стіни. Сходи торкаються стіни на висоті 12 футів. Основа сходів знаходиться на відстані 5 футів від стіни.
Стіна, земля, & сходи утворюють прямокутний трикутник.