对称的与类似的
两种形状的关系方式
在几何学中，两图形可以以两种重要方式相互关联：
对称(≅)意味着图形具有相同的形状和大小。每个边和每个角都完全匹配。如果你将其中一个切下来并将其放在另一个上面，它们将完美地对齐。
类似(~)意味着图形具有相同的形状但不同的大小。所有的角都相等，但边是成比例的：一个图形是另一个图形的放大版或缩小版。
想象一下：100%的复制品产生对称的副本。150%的复制品产生类似的副本：相同的形状，较大的大小。
三角形的对称性测试
证明三角形是对称的
一个三角形有6个测量值：3个边和3个角。但你不需要所有6个来证明两个三角形是对称的。有捷径：
SSS (边-边-边)：如果一个三角形的所有三边都等于另一个三角形的所有三边，那么这两个三角形是对称的。
SAS (边-角-边)：如果两个边和一个包含的角（这两个边之间的角）相等，那么这两个三角形是对称的。
ASA (角-边-角)：如果两个角和一个包含的边（这两个角之间的边）相等，那么这两个三角形是对称的。
AAS (角-角-边)：如果两个角和一个非包含边相等，那么这两个三角形是对称的。
注意，AAA不是一个对称性测试：两个三角形可以具有所有相同的角但具有不同的大小。这使它们是类似的，而不是对称的。
对称性检查
应用你所知道的
两个三角形的边长分别为5、12和13单位。第二个三角形也具有5、12和13单位的边长。
四种变换
移动形状而不破坏它们
一个变换是一种规则,它将每个点移动或改变。有四种基本变换:
平移(滑动): 将每个点向同一方向移动相同的距离。形状不会旋转或翻转。
旋转(旋转): 将图形围绕一个固定点(旋转中心)旋转一个给定的角度。
对称(翻转): 将图形沿一条线(对称轴)翻转,创建一个镜像。
扩展(缩放): 从一个中心点缩放或放大图形,使用缩放因子。
前三种:平移、旋转和翻转,称为刚性运动因为它们保留了形状和大小。结果始终与原件相似。
扩展改变了大小但保留了形状。结果与原件相似。
对称练习
###沿轴进行对称
当你沿y轴对点进行对称时, x坐标的值会发生改变(正变负,或者负变正)而y坐标保持不变。
什么是证明?
###几何的逻辑
一个几何证明是一条逻辑推理,它说明一个陈述为什么是真实的。仅仅说某事看起来是真实的是不够的,你必须说明为什么它是真实的。
每个证明都遵循一个链:
给定(你开始的东西)→陈述(一个主张)→原因(为什么那个主张是真实的)→...→结论
每个原因都必须是三种之一:
- 定义 (例如,'直角是90度')
- 公理 (一个我们不需要证明就接受为真实的基本事实,例如,'通过任何两个点有一条唯一的线')
- 定理 (已证明的事实,例如 "对角线相等")
证明是几何学的基础。数学家们已经用欧几里得的《元素》开始了超过2000年的知识积累。
平行线和角
经典几何事实
当两个平行线被一个切线（穿越两条平行线的线）切割时，会创建几个角关系。
其中最重要的一个是：交替内角：切线的两侧，平行线之间的角。
SOH-CAH-TOA
直角三角形内的比值
三角函数从一个简单的观察开始：在直角三角形中，如果你知道一个锐角，三角形的边的比值是固定的：无论三角形大小如何。
对于直角三角形中的任何锐角θ：
正弦（sin θ） = 反边 / 斜边
余弦（cos θ） = 邻边 / 斜边
正切（tan θ） = 反边 / 邻边
记忆助手SOH-CAH-TOA帮助你记住：
- 正弦 = 反边 / 斜边
- 余弦 = 邻边 / 斜边
- 正切 = 反边 / 邻边
这些比值对于所有具有相同角度的类似直角三角形是相同的。一个30-60-90的小三角形和一个30-60-90的大三角形具有相同的正弦、余弦和正切值。
使用正弦
使用三角函数解决问题
直角三角形中一个锐角是30°。30°角的反边是5厘米。
已知sin 30° = 0.5。
几何在哪里生活
几何无处不在
你学到的概念:相似性,变换,证明和三角学,不仅仅是课堂上的想法。它们是现实世界中每天使用的工具:
建筑:建筑物使用三角形作为结构支撑。三角形是唯一一个在不改变边长的情况下无法变形的多边形。这就是为什么屋顶支架,桥梁和起重机里充满了三角形的原因。
导航:三角测量使用两个已知点的角度来确定第三个点的位置。这就是GPS卫星如何确定你的位置的原因。
计算机图形学:每个视频游戏或电影中的3D模型都是由成千上万个小三角形(多边形网格)组成的。变换(平移,旋转,缩放)在屏幕上移动这些模型。
运动:弹球与壁面反射的角度等于其接近角。四分卫计算投球角度。滑板运动员使用斜坡角度。
工程:机械零件必须在千分之一英寸的容差内相互适应。几何证明确保在任何东西被制造之前,设计将有效。
梯子问题
将所有内容融合
梯子靠在墙上。梯子触及墙的部分是12英尺。梯子的地面部分与墙的距离是5英尺。
墙,地面和梯子共同构成直角三角形。