Benzer (≅) ve Benzer (~)
İki Şekil Arasındaki İki Önemli Yoldan İlişki
Dik geometride, iki şekil iki önemli yoldan ilişkilenebilir:
Benzer (≅), şekillerin aynı ve aynı boyutlarda olduğunu anlamına gelir. Her kenar ve açı eksiksiz eşleşir. Birini kesip diğeri üzerinde yerleştirirse, mükemmel bir şekilde uyanırlar.
Benzer (~), şekillerin aynı ama farklı boyutlarda olduğunu anlamına gelir. Tüm açıları eşit, ancak kenarları orantılıdır: biri diğerinin bir ölçek kopyasıdır, bir ölçek küçültülmüştür.
Bu şekilde düşünün: %100 fotokopi, benzer bir kopya üretir. %150 fotokopi, benzer bir kopya üretir: aynı şekil, daha büyük boyut.
Üçgen Benzerliği Testleri
Üçgenlerin Benzer Olduğunu Gösterme
Bir üçgen 6 ölçümüne sahiptir: 3 kenar ve 3 açı. Ancak, iki üçgenin benzer olduğunu kanıtlamak için tüm 6'ya gerek yoktur. Kısa yollar vardır:
SSS (Kenar-Kenar-Kenar): Birinci üçgenin tüm üç kenarını ikinci üçgenin tüm üç kenarına eşitse, üçgenler benzerdir.
SAS (Kenar-Açı-Kenar): İki kenar ve içteki açı (şunlar arasındaki açı) eşitse, üçgenler benzerdir.
ASA (Açı-Kenar-Açı): İki açı ve içteki kenar (şunlar arasındaki açı) eşitse, üçgenler benzerdir.
AAS (Açı-Açı-Kenar): İki açı ve bir içteki kenar eşitse, üçgenler benzerdir.
AAA, BENZERLİK TESTİ DEĞİLDİR: İki üçgenin tüm açıları aynı olsa bile farklı boyutlarda olabilir. Bu nedenle, benzer değil, benzerdir.
Benzerlik Kontrolü
Bilmenizi Uygulayın
İki üçgenin kenarları 5, 12 ve 13 birim ölçümündedir. İkinci üçgen de 5, 12 ve 13 birim ölçümüne sahiptir.
Dört Dönüşüm
Şekilleri Bozmadan Taşıma
Bir dönüşüm, bir şekli hareket ettiren veya değiştiren bir kuraldır. Dört temel dönüşüm vardır:
Çeviri (kayma): Her nokta aynı mesafede aynı yönde hareket et. Şekil dönmeyecek veya tersine dönecek.
Dönüş (devrime): Döndürme, döndürme noktası etrafında (merkez etrafında) bir belirsiz açıyla.
Yansıtma (tersine dönmeye): Bir çizgi (ayırma çizgisi) üzerinde şekli tersine çevirerek, bir aynaya benzer bir görüntü oluşturun.
Dilatasyon (ölçü): Bir merkez noktasından ölçü faktörü ile büyütmek veya küçültmek.
İlk üç: çeviri, dönüş ve yansıma: sabit hücreli hareketler olarak adlandırılır çünkü şekil ve boyutu korur. Sonuç her zaman orijinalle benzerdir.
Dilatasyon boyutu değiştirir ancak şekli korur. Sonuç, orijinale benzerdir.
Yansıtma Uygulama
Ekseni Üzerine Yansıtma
Y-ekseni üzerinde bir nokta yansıtıldığında, x koordinatı işaret değiştirir (olumlu negatife dönüşür veya tersi) ve y koordinatı aynı kalır.
Bir kanıt ne demektir?
Dik Cebir
Bir dik kanıt bir cümlenin neden doğru olduğunu gösteren mantıklı bir argümandır. Sadece bir şeyin doğru görünmesi yetmez, neden doğru olduğunu göstermelisin.
Her kanıt zinciri takip eder:
Verilen (başlangıç) → Cümle (bir iddi) → Neden (bu iddiayı neden doğru olduğunu) → ... → Sonuç
Her neden üç şeyden biri olmalıdır:
- Bir tanım (ör. 'bir doğru açı 90 derece'dir')
- Bir postaül (kanıt olmadan kabul ettiğimiz temel gerçek, örneğin 'her iki nokta arasında sadece bir çizgi vardır')
- Bir teorems (ör. 'diagonal açılar eşit')
Düşünçeler geometrinin omurgasıdır. Matematikçiler, Euclid'in Elementler ile başlayarak yaklaşık 2.000 yıl boyunca böyle bir bilgi inşa ettiler.
Paralel Hatalar ve Açılar
Sınırlı bir Klasik Geometri Gerçeği
İki paralel hat kesildiğinde, kesici (her ikisini de kesen) birkaç açı ilişkisi oluşturur.
En önemlisi: alternatif iç açılar: kesici, paralel hatlar arasında, karşı taraftaki tarafta bulunan açılar.
SOH-CAH-TOA
Sağ Triplerindeki Oranlar
Trigonometri, sağ üçgenlerde, birinin dik açı olduğunu biliyorsanız, kenarların oranı sabit kalır: üçgenin ne kadar büyük veya küçük olduğunu bilmez.
Sağ üçgenindeki herhangi bir dik açı θ için:
Sine (sin θ) = Karşı Kenar / Hipotenüs
Cosine (cos θ) = Komşu / Hipotenüs
Tangent (tan θ) = Karşı Kenar / Komşu
SOH-CAH-TOA ile hatırlamanız kolay:
- Sine = Opposite / Hypotenuse
- Cosine = Adjacent / Hypotenuse
- Tangent = Opposite / Adjacent
Bu oranlar, aynı açıları olan benzer sağ üçgenlerde aynıdır. Bir 30-60-90 küçük üçgen ve büyük bir 30-60-90 üçgen aynı sine, cosine ve tangent değerlerine sahiptir.
Sine Kullanımı
Trigonometri ile Çözüm
Sağ bir üçgen 30° bir açıya sahiptir. 30° açıya karşılık gelen karşı kenar 5 cm dir.
Verilen sin 30° = 0.5.
Cebir Nerede?
Cebir Her Yerde
Öğrendiğiniz kavramlar: benzeşim, benzerlik, dönüşümler, kanıtlar ve trigonometri: sadece sınıf ortamında olan fikirlerdir. Her gün gerçek dünyada kullanılan araçlar:
Mimari: Binalar, üçgenlerin yapısal gücünü kullanarak inşa edilir. Üçgen, kenar uzunluklarını değiştirmeden deformasyonsuz olabilen tek çokgen olduğundan, çatı kirişleri, köprüler ve kaldıraçlar üçgenlerle doludur.
Navigasyon: Üçgenlemede, iki bilinen noktanın açıları kullanılarak üçüncü bir noktanın pozisyonu bulunur. Bu şekilde, GPS uyduunuzun konumunu belirler.
Bilgisayar Grafikleri: Her 3D model, bir video oyununda veya filmde binlerce küçük üçgenle (polygon meshes) oluşturulur. Dönüşümler (ters çeviri, döndürme, ölçeklendirme) bu modelleri ekranın etrafında hareket ettirir.
Spor: Bir billiard topunun, bir kenarlıktan yansıyan açısı, yaklaşan açıyla eşit olur. Kuart erbacılar atış açılarını hesaplar. Scooterlar ramp açıları kullanır.
Mühendislik: Mekanik parçalar, binde bir ölçülerde tolerans içinde yerleştirilmelidir. Cebir kanıtları, tasarımların işleyip işlemediğini önceden belirler.
Merdiven Sorunu
Tümünü Birleştirme
Bir merdiven, bir duvarın üzerine dayanmaktadır. Merdiven, duvarı 12 feet yukarı dokunmaktadır. Merdivenin tabanı duvardan 5 feet mesafededir.
Duvar, zemin ve merdiven, bir doğru üçgen oluşturur.