Vier Transformationen

Bewegung von Formen ohne sie zu zerbrechen

Eine Transformation ist eine Regel, die jedes Punkt einer Figur verschiebt oder ändert. Es gibt vier grundlegende Transformationen:

Übersetzung (gleiten): Verschieben Sie jeden Punkt um die gleiche Distanz in die gleiche Richtung. Die Form dreht sich nicht oder wird umgekehrt.

Drehung (drehen): Drehen Sie die Figur um ein festes Punkt (das Zentrum der Drehung) um einen gegebenen Winkel.

Spiegelung (umkippen): Kippen Sie die Figur um eine Linie (die Spiegelachse) um, um ein Spiegelbild zu erstellen.

Dilatation (vergrößern/verkleinern): Vergrößern oder verkleinern Sie die Figur von einem Zentrumspunkt um einen Skalierungsfaktor.

Die ersten drei: Übersetzung, Drehung und Spiegelung: werden als starre Bewegungen bezeichnet, weil sie sowohl Form als auch Größe erhalten. Das Ergebnis ist immer konform zur Originalform.

Dilatation ändert die Größe, aber nicht die Form. Das Ergebnis ist ähnlich zur Originalform.

Übung zur Spiegelung

Spiegelung über einer Achse

Wenn Sie einen Punkt über die y-Achse spiegeln, ändert sich die x-Koordinate (positiv wird negativ oder umgekehrt, während die y-Koordinate gleich bleibt.)

Was ist ein Beweis?

Die Logik der Geometrie

Ein geometrischer Beweis ist ein logischer Argument, der zeigt, warum eine Aussage wahr sein muss. Es reicht nicht aus, zu sagen, dass etwas wahrscheinlich wahr ist: Sie müssen zeigen, warum es wahr ist.

Jeder Beweis folgt einer Kette:

Gegeben (was Sie mit anfangen) → Aussage (eine Behauptung) → Begründung (warum diese Behauptung wahr ist) → ... → Schluss

Jede Begründung muss eine von drei Dingen sein:

- Eine Definition (z.B. 'Ein rechter Winkel ist 90 Grad')

- Eine Axiom (eine grundlegende Wahrheit, die wir ohne Beweis akzeptieren, z.B. 'Durch jeden Punkt gibt es genau eine Linie')

- Ein Lehrsatz (etwas bereits bewiesen, z.B. "senkrechte Winkel sind gleich")

Beweise sind das Rückgrat der Geometrie. Sie sind es, was Mathematiker seit über 2.000 Jahren zum Aufbau von Kenntnissen verwendet haben, beginnend mit Euklids Elemente.

Parallelstrahlen und Winkel

Eine klassische Geometriefakt

Wenn zwei parallele Gerade durch eine Querseite (eine Gerade, die beide durchschneidet) geschnitten werden, werden mehrere Winkelbeziehungen erstellt.

Ein besonders wichtiger: die gegenüberliegenden Innenwinkel: die Winkel auf entgegengesetzten Seiten der Querseite, zwischen den parallelen Geraden.

SOH-CAH-TOA

Die Verhältnisse innerhalb rechtwinkliger Dreiecke

Die Trigonometrie beginnt mit einer einfachen Beobachtung: in einem rechtwinkligen Dreieck sind die Verhältnisse der Seiten, wenn Sie eines der spitzen Winkel kennen, festgelegt: unabhängig davon, wie groß oder klein das Dreieck ist.

Für jeden spitzen Winkel θ in einem rechtwinkligen Dreieck:

Sine (sin θ) = Gegenkante / Hypotenuse

Cosine (cos θ) = Nebenkante / Hypotenuse

Tangent (tan θ) = Gegenkante / Nebenkante

Die Mnemonik SOH-CAH-TOA hilft Ihnen, sich das zu merken:

- Sine = Opposite / Hypotenuse

- Cosine = Adjacent / Hypotenuse

- Tangent = Opposite / Adjacent

Diese Verhältnisse sind für alle ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke mit denselben Winkeln gleich. Ein winziges 30-60-90-Dreieck und ein riesiges 30-60-90-Dreieck haben die gleichen Sine-, Kosinus- und Tangenswerte.

Sine verwenden

Mit Trigonometrie lösen

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von 30°. Die Seite, die gegenüber dem 30°-Winkel liegt, ist 5 cm.

Sie werden angegeben, dass sin 30° = 0,5 ist.

Wo Geometrie lebt

Geometrie ist überall

Die Konzepte, die Sie gelernt haben: Kongruenz, Ähnlichkeit, Transformationen, Beweise und Trigonometrie: sind keine nur im Klassenzimmer. Sie sind Werkzeuge, die täglich in der Realität verwendet werden:

Architektur: Gebäude nutzen Dreiecke für den strukturellen Aufbau. Ein Dreieck ist das einzige Polygon, das ohne Änderung der Seitenlängen deformiert werden kann. Das ist, warum Dachträger, Brücken und Kranträger voller Dreiecke sind.

Navigation: Triangulation verwendet die Winkel von zwei bekannten Punkten, um die Position eines dritten zu finden. So bestimmen GPS-Satelliten Ihre Position.

Computergrafik: Jedes 3D-Modell in einem Computerspiel oder Film besteht aus Tausenden von kleinen Dreiecken (Polygonnetze). Transformationen (Übersetzung, Drehung, Skalierung) bewegen diese Modelle auf dem Bildschirm.

Sport: Das Winkel des Reflexes eines Billiardkugels an einer Kissenkante entspricht dem Winkel des Anpralls. Quarterbacks berechnen den Wurfwinkel. Skateboarder nutzen Rampenwinkel.

Ingenieurwesen: Teile von Maschinen müssen in Toleranzen eingepasst werden, die in Tausendsteln eines Zoll gemessen werden. Geometrische Beweise stellen sicher, dass Entwürfe vor der Bauausführung funktionieren.

Leiterproblem

Alles zusammenfügen

Ein Leiter lehnt sich an eine Wand. Der Leiter berührt die Wand 12 Fuß hoch. Das Basis der Leiter ist 5 Fuß von der Wand entfernt.

Die Wand, der Boden und der Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck.