Vier Transformationen

Bewegung von Formen ohne sie zu beschädigen

Eine Transformation ist eine Regel, die jedes Punkt einer Figur verschiebt oder ändert. Es gibt vier grundlegende Transformationen:

Übersetzung (gleiten): Verschieben Sie jeden Punkt um die gleiche Distanz in die gleiche Richtung. Die Form dreht sich nicht oder wird umgekehrt.

Drehung (drehen): Drehen Sie die Figur um ein festes Punkt (den Mittelpunkt der Drehung) um einen gegebenen Winkel.

Spiegelung (umkehren): Drehen Sie die Figur um eine Linie (die Spiegelachse) um, um ein Spiegelbild zu erstellen.

Dilatation (vergrößern/verkleinern): Vergrößern oder verkleinern Sie die Figur von einem Mittelpunkt um einen Skalierungsfaktor.

Die ersten drei: Übersetzung, Drehung und Spiegelung, werden als starre Bewegungen bezeichnet, weil sie sowohl Form als auch Größe erhalten. Das Ergebnis ist immer konform zum Original.

Dilatation ändert die Größe, aber nicht die Form. Das Ergebnis ist ähnlich zum Original.

Spiegelungsübung

Spiegelung über einer Achse

Wenn Sie einen Punkt über die y-Achse spiegeln, ändert sich die x-Koordinate (positiv wird negativ oder umgekehrt, oder umgekehrt) während die y-Koordinate gleich bleibt.

Was ist ein Beweis?

Die Logik der Geometrie

Ein geometrischer Beweis ist ein logischer Argument, der zeigt, warum eine Aussage wahr sein muss. Es reicht nicht aus, zu sagen, dass etwas aussehen muss: Sie müssen zeigen, warum es wahr ist.

Jeder Beweis folgt einer Kette:

Gegeben (was Sie mit anfangen) → Aussage (eine Behauptung) → Begründung (warum diese Behauptung wahr ist) → ... → Schluss

Jede Begründung muss eine von drei Dingen sein:

- Eine Definition (z. B. 'Ein rechter Winkel ist 90 Grad')

- Eine Axiom (eine grundlegende Wahrheit, die wir ohne Beweis akzeptieren, z. B. 'Durch jeden Punkt gibt es genau eine Linie')

- Ein Lehrsatz (etwas bereits bewiesen, z.B. "senkrechte Winkel sind gleich")

Beweise sind das Rückgrat der Geometrie. Sie sind es, was Mathematiker seit über 2.000 Jahren zum Aufbau des Wissens verwendet haben, beginnend mit Euklids Elemente.

Parallelstrahlen und Winkel

Eine klassische Geometriefakt

Wenn zwei parallele Gerade durch eine Quergerade (eine Gerade, die beide durchschneidet) geschnitten werden, werden mehrere Winkelbeziehungen erstellt.

Ein besonders wichtiger: die gegenüberliegenden Innengeraden: die Winkel auf entgegengesetzten Seiten der Quergeraden, zwischen den parallelen Geraden.

SOH-CAH-TOA

Die Verhältnisse innerhalb rechtwinkliger Dreiecke

Die Trigonometrie beginnt mit einer einfachen Beobachtung: in einem rechtwinkligen Dreieck sind die Verhältnisse der Seiten, wenn Sie ein der spitzen Winkel kennen, festgelegt: unabhängig davon, wie groß oder klein das Dreieck ist.

Für jeden spitzen Winkel θ in einem rechtwinkligen Dreieck:

Sinus (sin θ) = Gegenkathete / Hypotenuse

Kosinus (cos θ) = Nebenkathete / Hypotenuse

Tangens (tan θ) = Gegenkathete / Nebenkathete

Die Mnemonik SOH-CAH-TOA hilft Ihnen, sich das zu merken:

- Sinus = Opposite / Hypotenuse

- Cosinus = Adjacent / Hypotenuse

- Tangens = Opposite / Adjacent

Diese Verhältnisse sind für alle ähnlichen rechtwinkligen Dreiecke mit denselben Winkeln gleich. Ein winziges 30-60-90-Dreieck und ein riesiges 30-60-90-Dreieck haben die gleichen Sinus-, Kosinus- und Tangenswerte.

Anwendung des Sinus

Lösen mit Trigonometrie

Ein rechtwinkliges Dreieck hat einen Winkel von 30°. Die gegenkathete ist 5 cm.

Es wird angegeben, dass sin 30° = 0,5 ist.

Wo Geometrie lebt

Geometrie ist überall

Die Konzepte, die Sie gelernt haben: Kongruenz, Ähnlichkeit, Transformationen, Beweise und Trigonometrie: sind nicht nur Klassenzimmer-Ideen. Sie sind Werkzeuge, die täglich in der Realität verwendet werden:

Architektur: Gebäude nutzen Dreiecke für den strukturellen Aufbau. Ein Dreieck ist das einzige Polygon, das ohne Änderung der Seitenlängen deformiert werden kann. Das ist der Grund, warum Dachträger, Brücken und Kranträger voller Dreiecke sind.

Navigation: Trigonometrie verwendet die Winkel von zwei bekannten Punkten, um die Position eines dritten zu finden. So bestimmen GPS-Satelliten Ihre Position.

Computergrafik: Jedes 3D-Modell in einem Videospiel oder einem Film besteht aus Tausenden von winzigen Dreiecken (Polygonnetze). Transformationen (Übersetzung, Drehung, Skalierung) bewegen diese Modelle auf dem Bildschirm.

Sport: Das Winkel des Reflexes eines Billardkugels an einer Kissenkante entspricht dem Winkel des Anpralls. Quarterbacks berechnen die Wurfwinkel. Skateboarder nutzen Neigungen von Rampe.

Ingenieurwesen: Die Teile von Maschinen müssen in Toleranzen gemessen werden, die in Tausendsteln eines Zoll liegen. Geometrische Beweise stellen sicher, dass Entwürfe vor der Bauausführung funktionieren werden.

Leiterproblem

Alles zusammenfügen

Ein Leiter lehnt sich an eine Wand. Der Leiter berührt die Wand 12 Fuß hoch. Das Basis der Leiter ist 5 Fuß von der Wand entfernt.

Die Wand, der Boden und der Leiter bilden ein rechtwinkliges Dreieck.