동심성과 비슷한 것
두 가지 모양의 관계 방식
기하학에서 두 도형은 두 가지 중요한 방식으로 관련될 수 있습니다:
동심성(≅)은 도형이 동일한 모양과 동일한 크기를 가짐을 의미합니다. 모든 변과 모든 각이 정확히 일치합니다. 하나를 자르고 다른 곳에 올려놓으면 완벽하게 일치합니다.
비슷한 것(~)은 도형이 동일한 모양이지만 다른 크기를 가짐을 의미합니다. 모든 각이 같지만 변은 비례합니다: 하나의 도형은 다른 도형의 확대 또는 축소판입니다.
이렇게 생각해보십시오: 100% 복사본은 동심성 복사본을 생성합니다. 150% 복사본은 비슷한 복사본을 생성합니다: 동일한 모양, 더 큰 크기.
삼각형 동심성 검사
삼각형이 동심성인지 증명하기
삼각형은 6개의 측정치를 가지고 있지만 두 삼각형이 동심성인지 증명하기 위해서는 모든 것을 사용할 필요가 없습니다.捷径이 있습니다:
SSS (변-변-변): 하나의 삼각형의 모든 변이 다른 삼각형의 모든 변과 같으면 삼각형은 동심성입니다.
SAS (변-각-변): 두 변과 포함된 각(두 변 사이의 각)이 같으면 삼각형은 동심성입니다.
ASA (각-변-각): 두 각과 포함된 변(두 각 사이의 변)이 같으면 삼각형은 동심성입니다.
AAS (각-각-변): 두 각과 비포함된 변이 같으면 삼각형은 동심성입니다.
AAA는 동심성 검사가 아닙니다: 두 삼각형은 모든 각이 같지만 크기가 다른 경우가 있습니다. 그들은 비슷하지만 동심성은 아닙니다.
동심성 확인
적용해 보세요
두 삼각형의 변 길이가 5, 12, & 13인치입니다. 두 번째 삼각형도 변 길이가 5, 12, & 13인치입니다.
네 가지 변환
형태를 무너뜨리지 않고 움직이는 것
변환은 모든 점을 움직이는 규칙입니다. 점자에는 네 가지 기본 변환이 있습니다.
이동(슬라이드): 모든 점을 동일한 거리와 방향으로 이동합니다. 모양은 회전하거나 뒤집지 않습니다.
회전(회전): 회전 중심을 기준으로 모양을 주어진 각도만큼 돌립니다.
반사(반전): 모양을 반사선(반사선)을 기준으로 뒤집어 놓습니다. 그 결과는 원본과 비슷해집니다.
확장(확대): 중심점에서 확대하거나 축소하는 변환입니다.
이들 세 가지: 이동, 회전 및 반사는 모양과 크기를 보존하며 형태와 크기를 보존하는 변환이다. 결과는 항상 원본과 동형입니다.
확장은 크기를 변경하지만 모양은 보존됩니다. 결과는 원본과 비슷합니다.
반사 연습
축을 기준으로 반사
y축 위에서 점을 반사할 때 x좌표의 부호가 바뀌며 y좌표는 동일하게 유지됩니다.
증명이란 무엇인가?
기하학의 논리
기하학적 증명은 진술이 참이라는 것을 보여주는 논리적 인 증거입니다. 단순히 어떤 것이 참처럼 보이는 것만 말하는 것은 부족합니다. 그것이 왜 참인지 보여야 합니다.
모든 증명은 체인으로 이어집니다:
주어진 것(시작하는 것) → 주장(보장하려는 진술) → 이유(그 주장이 참이라는 이유) → ... → 결론
각 이유는 세 가지 중 하나여야 합니다:
- 정의 (예: '직각은 90도입니다')
- 포스트룰 (증명하지 않고 받아들이는 기본 진실, 예: '어떤 두 점 사이에는 정확히 한 선이 있다')
- 정리 (이미 증명된 것, 예: "직각은 같다")
증명은 기하학의 뼈대입니다. 수학자들은 2,000년 이상 동안 유clid의 원소에서 시작하여 지식을 구축해왔습니다.
平行선과 각도
기하학의 고전 사실
두 평행선이 전차선 (두 선 모두를 가르는 선)에 의해 자르면 여러 각 관계가 생성됩니다.
가장 중요한 것 중 하나: 대체 내부 각 - 전차선 위와 아래에 위치한, 평행선 사이의 각.
SOH-CAH-TOA
직각 삼각형 내의 비율
삼각함수는 간단한 관찰에서 시작합니다: 직각 삼각형에서 만약 한 각이 주어지면, 삼각형의 크기에 상관없이 비율이 고정됩니다.
직각 삼각형의 각 θ에 대해:
사인 (sin θ) = 반대변 / гип오텐유
코사인 (cos θ) = 인접변 / гип오텐유
탄젠트 (tan θ) = 반대변 / 인접변
메모리법 SOH-CAH-TOA를 사용하여 기억할 수 있습니다:
- S사인 = O반대변 / Hhypotenuse
- C코사인 = A인접변 / Hhypotenuse
- T탄젠트 = O반대변 / A인접변
이러한 비율은 동일한 각을 가진 모든 유사 직각 삼각형에서 동일합니다. 작은 30-60-90 삼각형과 큰 30-60-90 삼각형은 동일한 사인, 코사인 및 탄젠트 값을 가집니다.
사인 사용
삼각함수와 함께 해결하기
직각 삼각형의 각은 30°입니다. 30° 각의 반대변은 5cm입니다.
사인 30° = 0.5로 주어집니다.
기하학의 삶의 장소
기하학은 어디에 있나요
학습한 개념: 대응성, 유사성, 변환, 증명, 삼각비: 이들은 교실에서의 개념만이 아닙니다. 이들은 일상생활에서 매일 사용되는 도구입니다:
건축: 건물은 구조적 강도를 위해 삼각형을 사용합니다. 삼각형은 변의 길이를 변경하지 않고 변형되지 않는 유일한 다각형이기 때문입니다. 그로 인해 지붕 트러스, 다리, 크레인에는 삼각형이 가득합니다.
항법: 두 알려진 점의 각도를 사용하여 세 번째 점의 위치를 찾는 삼각화법은 GPS 위성들이 위치를 결정하는 방법입니다.
컴퓨터 그래픽스: 비디오 게임이나 영화의 모든 3D 모델은 수천 개의 작은 삼각형(정다각형 메쉬)으로 만들어집니다. 변환(이동, 회전, 확장)은 그 모델을 화면 주변으로 움직입니다.
스포츠: 볼의 반영 각도는 접촉 각도와 같습니다. 쿼터백은 던지기 각도를 계산합니다. 스케이트 선수들은 람프 각도를 사용합니다.
공학: 기계 부품은 천분의 일 인치 단위로 측정되는 허용 범위 내에 들어야 합니다. 기하학적 증명은 설계가 작동할 것인지 확인하기 전에 건물을 짓기 전에 사용됩니다.
레인저 문제
모든 것을 함께 조립하세요
레인저는 벽에 12피트 높이에서 닿습니다. 레인저의 기초는 벽에서 5피트 떨어져 있습니다.
벽, 바닥, 그리고 레인저는 직각 삼각형을 형성합니다.