أهلا وسهلا
الجبر هو عمل بحثي.
شخص ما قد أخفى رقماً. لقد أعطاك تلميحات. مهمتك هي معرفة ما هو هذا الرقم.
يحصل الرقم المخفي على اسم: x. هذا كل ما هي متغير — اسم لشيء لا تعرفه بعد.
بحلول نهاية هذا الدرس، ستتمكن من إيجاد x في أماكن إخفاء متزايدة الصعوبة. وبمجرد أن تتمكن من ذلك، سيكون لديك مفتاح رئيسي لجميع الرياضيات العليا.
الإحماء
لغز سريع
انسَ درس الرياضيات للحظة. فقط فكر في هذا:
إذا كانت 3 أكياس من التفاح تزن 12 رطلاً في المجموع، كم يزن كيس واحد؟
التوازن
استعارة التوازن
المعادلة هي ميزان توازن. علامة المساواة هي نقطة الارتكاز. كل ما على اليسار يزن نفس وزن ما على اليمين.
القاعدة الذهبية: ما تفعله لأحد الطرفين، يجب أن تفعله للطرف الآخر. إذا أضفت 5 إلى اليسار، فأضف 5 إلى اليمين. إذا قسمت اليسار على 3، فاقسم اليمين على 3.
مثال 1: x + 5 = 12
تمت إضافة 5 إلى x. لعزل x، نقوم بـ العملية العكسية — طرح 5 من كلا الطرفين.
x + 5 - 5 = 12 - 5
x = 7
مثال 2: 3x = 21
تم ضرب x في 3. لعزل x، نقوم بالعملية العكسية — قسم كلا الطرفين على 3.
3x ÷ 3 = 21 ÷ 3
x = 7
الجمع ↔ الطرح. الضرب ↔ القسمة. هذه أزواج معكوسة.
الترتيب مهم
خطوتان للحرية
الآن x محاصر خلف عمليتين بدلاً من واحدة.
مثال: 2x + 3 = 11
فكر فيها كفك صندوق. تم ضرب x أولاً في 2، ثم تمت إضافة 3. لعكس ذلك، نعود بالترتيب العكسي:
الخطوة 1: عكس الجمع. اطرح 3 من كلا الطرفين.
2x + 3 - 3 = 11 - 3
2x = 8
الخطوة 2: عكس الضرب. قسم كلا الطرفين على 2.
2x ÷ 2 = 8 ÷ 2
x = 4
القاعدة: عكس الجمع أو الطرح أولاً، ثم عكس الضرب أو القسمة. أنت تزيل الطبقات بالترتيب العكسي.
يمكنك دائماً التحقق من إجابتك بإدراج القيمة مرة أخرى: 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11. ✓
جمع المتغيرات
ماذا إذا كان x على كلا الطرفين؟
حتى الآن، لم يظهر x إلا على أحد طرفي المعادلة. لكن ماذا يحدث عندما يظهر x على كلا الطرفين؟
مثال: 5x + 2 = 3x + 10
x يظهر على اليسار واليمين. نحتاج إلى جمع جميع حدود x في أحد الطرفين.
الخطوة 1: اطرح 3x من كلا الطرفين لجمع حدود x معاً.
5x - 3x + 2 = 3x - 3x + 10
2x + 2 = 10
الخطوة 2: الآن معادلة بخطوتين. اطرح 2 من كلا الطرفين.
2x = 8
الخطوة 3: قسم كلا الطرفين على 2.
x = 4
تحقق: 5(4) + 2 = 22. و 3(4) + 10 = 22. كلا الطرفين يساويان 22. ✓
الحركة الجديدة بسيطة: اطرح حد x الأصغر من كلا الطرفين لجمع كل x في أحد الطرفين. ثم حل كما هو الحال قبل ذلك.
ترجمة اللغة الإنجليزية إلى الجبر
من الكلمات إلى المعادلات
أصعب جزء في الجبر ليس حل المعادلات — إنه إعدادها. المشاكل الحقيقية تأتي بالكلمات، وليس بالرموز.
دليل الترجمة:
- رقم → x
- مضاعف أو ضعف → 2x
- زائد، أكثر من، زيادة بمقدار → +
- ناقص، أقل من، انخفاض بمقدار → -
- يكون، يساوي، يؤدي إلى → =
مثال
"رقم مضاعف زائد ثلاثة يساوي خمسة عشر."
الترجمة: 2x + 3 = 15
الحل: 2x = 12، لذا x = 6.
الحيلة هي قراءة بطء، ترجمة قطعة تلو الأخرى، وكتابة المعادلة قبل أن تحاول حلها.
المعادلات هي خطوط
كل معادلة خطية هي خط
لقد كنت تحل المعادلات — لتجد أين يهبط x على خط الأعداد. لكن هناك صورة أكبر.
عندما يكون لديك معادلة بمتغيرين، مثل y = 2x + 3، كل حل هو نقطة على رسم بياني. وجميع تلك النقاط تشكل خطاً مستقيماً.
صيغة تقاطع الميل: y = mx + b
- m هو الميل — مدى حدة الخط. يخبرك كم يتغير y عندما يزيد x بمقدار 1.
- b هو تقاطع y — حيث يعبر الخط محور y. إنها قيمة y عندما x = 0.
العودة إلى خطة الهاتف
كانت خطة هاتفك: التكلفة = 0.05 × (عدد الرسائل النصية) + 20
أو بصيغة تقاطع الميل: y = 0.05x + 20
- الميل هو 0.05 — كل رسالة نصية إضافية تضيف 5 سنتات إلى فاتورتك.
- تقاطع y هو 20 — حتى مع عدم وجود رسائل نصية، تدفع $20.
إذا رسمت هذا، ستسترى خطاً يبدأ عند $20 على محور y، يرتفع بلطف 5 سنتات لكل رسالة نصية.