Bienvenidos
El álgebra es trabajo de detectives.
Alguien ha escondido un número. Te han dado pistas. Tu trabajo es descubrir qué número es.
El número escondido recibe un nombre: x. Eso es todo lo que es una variable: un nombre para algo que aún no conoces.
Al final de esta lección, podrás encontrar x en escondrijos cada vez más engañosos. Y una vez que puedas hacer eso, tendrás la llave maestra para toda la matemática superior.
Calentamiento
Un Puzzel Rápido
Olvida por un momento la clase de matemáticas. Solo piensa en esto:
Si 3 bolsas de manzanas pesan 12 libras en total, ¿cuánto pesa una bolsa?
Equilibrio
El Metáfora del Equilibrio
Una ecuación es una balanza de equilibrio. El signo de igual es el pivote. Lo que está a la izquierda pesa lo mismo que lo que está a la derecha.
La regla dorada: lo que hagas en un lado, hazlo en el otro. Si sumas 5 al lado izquierdo, suma 5 al lado derecho. Si divides el lado izquierdo por 3, divide el lado derecho por 3.
Ejemplo 1: x + 5 = 12
El x tiene 5 sumado a él. Para aislar x, hacemos la operación inversa: resta 5 de ambos lados.
x + 5 - 5 = 12 - 5
x = 7
Ejemplo 2: 3x = 21
El x es multiplicado por 3. Para aislar x, hacemos la inversa: divide ambos lados por 3.
3x ÷ 3 = 21 ÷ 3
x = 7
Adición ↔ Sustracción. Multiplicación ↔ División. Estos son pares inversos.
El orden importa
Dos pasos para liberar a x
Ahora x está bloqueado detrás de dos operaciones en lugar de una.
Ejemplo: 2x + 3 = 11
Imagina desempaquetar un paquete. La x fue multiplicada por 2, luego se le agregó 3. Para deshacer esto, vamos en orden inverso:
Paso 1: Deshacer la adición. Resta 3 de ambos lados.
2x + 3 - 3 = 11 - 3
2x = 8
Paso 2: Deshacer la multiplicación. Divide ambos lados por 2.
2x ÷ 2 = 8 ÷ 2
x = 4
La regla: deshaz la adición o la sustracción primero, luego deshaz la multiplicación o la división. Estás quitando capas en orden inverso.
Puedes verificar tu respuesta introduciéndola de nuevo: 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11. ✓
Reuniendo variables
¿Qué Sucede Si x Está en Ambos Lados?
Hasta ahora, x solo aparecía en un lado de la ecuación. ¿Pero qué pasa cuando x aparece en ambos lados?
Ejemplo: 5x + 2 = 3x + 10
El x está en ambos lados. Necesitamos recolectar todos los términos de x en un solo lado.
Paso 1: Resta 3x de ambos lados para juntar los términos de x.
5x - 3x + 2 = 3x - 3x + 10
2x + 2 = 10
Paso 2: Ahora es una ecuación de dos pasos. Resta 2 de ambos lados.
2x = 8
Paso 3: Divide ambos lados por 2.
x = 4
Revisar: 5(4) + 2 = 22. Y 3(4) + 10 = 22. Ambos lados son iguales. ✓
El nuevo movimiento es simple: resta el término de x más pequeño de ambos lados para tener todos los x en un lado. Luego, resuelve como antes.
Traducir Inglés a Álgebra
De Palabras a Ecuaciones
La parte más difícil de la álgebra no es resolver ecuaciones: es establecerlas. Los problemas reales vienen en palabras, no en símbolos.
La guía de traducción:
- un número → x
- duplicado o por dos → 2x
- más, o, incrementado por → +
- menos, que, disminuido por → -
- es, igual, resulta en → =
Ejemplo
"Un número duplicado más tres es igual a quince."
Traducción: 2x + 3 = 15
Resuelve: 2x = 12, así que x = 6.
La trampa es leer lentamente, traducir pieza a pieza y escribir la ecuación antes de intentar resolverla.
Las ecuaciones trazan líneas
Cada ecuación lineal es una línea
Has estado resolviendo ecuaciones: encontrando dónde x cae en una línea numérica. Pero hay una perspectiva más grande.
Cuando tienes una ecuación con dos variables, como y = 2x + 3, cada solución es un punto en un gráfico. Y todos esos puntos forman una línea recta.
La forma de pendiente y intercepto: y = mx + b
- m es la pendiente: cuán empinada está la línea. Te dice cuánto cambia y cuando x aumenta en 1.
- b es el intercepto de y: donde la línea cruza el eje de y. Es el valor de y cuando x = 0.
De vuelta al plan de teléfono
Tu plan de teléfono era: costo = 0.05 × (número de textos) + 20
O en la forma de pendiente e intercepto: y = 0.05x + 20
- La pendiente es 0.05: cada texto adicional agrega 5 centavos a tu cuenta.
- El intercepto de y es 20: incluso sin textos, pagas $20.
Si graficaras esto, verías una línea que comienza en $20 en el eje de y, subiendo 5 centavos por cada texto.