Рівновага

Метафора рівноваги

Рівняння — це бланшова вага. Знак дорівнює — це точка опори. Що б там не було зліва, важить стільки ж, що й справа.

Золоте правило: що б ви не зробили з однією стороною, ви повинні зробити з іншою. Якщо додати 5 до лівої частини, додайте 5 до правої. Якщо поділити ліву частину на 3, поділіть праву частину на 3.

Приклад 1: x + 5 = 12

До x додано 5. Щоб ізолювати x, ми виконуємо обернену операцію — віднімаємо 5 з обох сторін.

x + 5 - 5 = 12 - 5

x = 7

Приклад 2: 3x = 21

x помножено на 3. Щоб ізолювати x, ми виконуємо обернену операцію — ділимо обидві сторони на 3.

3x ÷ 3 = 21 ÷ 3

x = 7

Додавання ↔ Віднімання. Множення ↔ Ділення. Це обернені пари.

Порядок важливий

Два кроки до свободи

Тепер x закритий двома операціями замість однієї.

Приклад: 2x + 3 = 11

Подумайте про це як про розпакування пакунка. x спочатку помножили на 2, потім додали 3. Щоб скасувати це, ми йдемо в зворотному порядку:

Крок 1: Скасуйте додавання. Відніміть 3 з обох сторін.

2x + 3 - 3 = 11 - 3

2x = 8

Крок 2: Скасуйте множення. Поділіть обидві сторони на 2.

2x ÷ 2 = 8 ÷ 2

x = 4

Правило: спочатку скасуйте додавання чи віднімання, потім скасуйте множення чи ділення. Ви знімаєте шари у зворотному порядку.

Ви завжди можете перевірити свою відповідь, підставивши її назад: 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11. ✓

Збирання змінних

Що, якщо x по обидва боки?

До цього часу x з'являлся тільки з однієї сторони рівняння. Але що стається, коли x з'являється по обидва боки?

Приклад: 5x + 2 = 3x + 10

x знаходиться і зліва, і справа. Нам потрібно зібрати всі члени x з однією стороною.

Крок 1: Відніміть 3x з обох сторін, щоб перемістити члени x разом.

5x - 3x + 2 = 3x - 3x + 10

2x + 2 = 10

Крок 2: Тепер це двокроковий рівняння. Відніміть 2 з обох сторін.

2x = 8

Крок 3: Поділіть обидві сторони на 2.

x = 4

Перевірка: 5(4) + 2 = 22. І 3(4) + 10 = 22. Обидві сторони дорівнюють 22. ✓

Новий хід простий: відніміть менший член x з обох сторін, щоб отримати всі x з однією стороною. Потім розв'яжіть як раніше.

Переведення англійської на алгебру

Від слів до рівнянь

Найскладніша частина алгебри — не розв'язання рівнянь — це їх складання. Реальні задачі приходять словами, а не символами.

Довідник перекладу:

- число → x

- подвоєне або удвічі → 2x

- плюс, більше, збільшене на → +

- мінус, менше, зменшене на → -

- є, дорівнює, результати → =

Приклад

"Число, подвоєне, плюс три дорівнює п'ятнадцяти."

Переклад: 2x + 3 = 15

Розв'яжіть: 2x = 12, тому x = 6.

Трюк — читати повільно, перекладати кусок за куском, і напишіть рівняння перед тим, як спробувати його розв'язати.

Рівняння — це лінії

Кожне лінійне рівняння — це лінія

Ви розв'язували рівняння — знаходили, де x приземляється на числовій лінії. Але є більша картина.

Коли у вас є рівняння з двома змінними, як y = 2x + 3, кожне рішення — це точка на графіку. І всі ці точки утворюють пряму лінію.

Форма перетину нахилу: y = mx + b

- m — нахил — наскільки крута лінія. Він розповідає вам, на скільки y змінюється, коли x збільшується на 1.

- b — перетин y — де лінія перетинає вісь y. Це значення y, коли x = 0.

Повернемося до плану телефону

Ваш план телефону був: вартість = 0,05 × (кількість текстів) + 20

Або у формі перетину нахилу: y = 0.05x + 20

- Нахил дорівнює 0,05 — кожен додатковий текст додає 5 центів до вашого рахунку.

- Перетин y дорівнює 20 — навіть з нулем текстів, ви платите 20 доларів.

Якби ви побудували графік цього, ви б побачили лінію, що починається з 20 доларів на осі y, піднімаючись на 5 центів за кожен текст.