Willkommen
Algebra ist Detektivarbeit.
Jemand hat eine Zahl versteckt. Sie hat dir Hinweise gegeben. Deine Aufgabe ist es, herauszufinden, was diese Zahl ist.
Die versteckte Zahl bekommt einen Namen: x. Das ist alles, was eine Variable ist: ein Name für etwas, von dem du noch nicht weißt.
Bis Ende dieses Unterrichts wirst du in immer schwierigere Versteckspielpartien finden können. Und sobald du das kannst, hast du den Schlüssel zu allen höheren Mathematik.
Aufwärmen
Ein schnelles Rätsel
Vergiss für einen Moment die Mathematikklasse. Denk nur daran:
Wenn 3 Äpfelsäcke insgesamt 12 Pfund wiegen, wie viel wiegen ein Sack?
Gleichgewicht
Das Gleichgewichtsmetapher
Eine Gleichung ist eine Waage. Das Gleichheitszeichen ist der Hebel. Was auch immer auf der linken Seite liegt, muss auf der rechten Seite das gleiche Gewicht haben.
Das Goldene Regel: Was auch immer du einer Seite antust, musst du auch der anderen Seite antun. Wenn du 5 zur linken Seite hinzufügst, fügst du 5 zur rechten Seite hinzu. Wenn du die linke Seite durch 3 teilst, teilst du auch die rechte Seite durch 3.
Beispiel 1: x + 5 = 12
Das x hat 5 hinzugefügt bekommen. Um x zu isolieren, führen wir die Gegenzahlungsoperation aus: Subtrahiere 5 von beiden Seiten.
x + 5 - 5 = 12 - 5
x = 7
Beispiel 2: 3x = 21
Das x wird mit 3 multipliziert. Um x zu isolieren, führen wir die Gegenoperation aus: Teile beide Seiten durch 3.
3x ÷ 3 = 21 ÷ 3
x = 7
Addition ↔ Subtraktion. Multiplikation ↔ Division. Diese sind inverse Paare.
Die Reihenfolge ist wichtig
Zwei Schritte zur Freiheit
Jetzt ist x hinter zwei Operationen abgeschnallt anstatt einer.
Beispiel: 2x + 3 = 11
Denk daran, es wie das Öffnen eines Pakets zu betrachten. Das x wurde zuerst um 2 multipliziert, dann wurde 3 hinzugefügt. Um dies rückgängig zu machen, gehen wir in umgekehrter Reihenfolge:
Schritt 1: Die Addition rückgängig machen. Subtrahiere 3 von beiden Seiten.
2x + 3 - 3 = 11 - 3
2x = 8
Schritt 2: Die Multiplikation rückgängig machen. Teile beide Seiten durch 2.
2x ÷ 2 = 8 ÷ 2
x = 4
Die Regel: Zuerst die Addition oder Subtraktion rückgängig machen, dann die Multiplikation oder Division. Du löschst die Schichten in umgekehrter Reihenfolge.
Du kannst immer deine Antwort durch Probieren der Lösung überprüfen: 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11. ✓
Versammlung von Variablen
Was, wenn x auf beiden Seiten ist?
Bis jetzt war x nur auf einer Seite der Gleichung. Was passiert aber, wenn x auf beiden Seiten auftaucht?
Beispiel: 5x + 2 = 3x + 10
Der x ist auf beiden Seiten, links und rechts. Wir müssen alle x-Terme auf einer Seite sammeln.
Schritt 1: Subtrahiere 3x von beiden Seiten, um die x-Terme zusammenzufassen.
5x - 3x + 2 = 3x - 3x + 10
2x + 2 = 10
Schritt 2: Jetzt handelt es sich um eine zweistufige Gleichung. Subtrahiere 2 von beiden Seiten.
2x = 8
Schritt 3: Teile beide Seiten durch 2.
x = 4
Überprüfung: 5(4) + 2 = 22. Und 3(4) + 10 = 22. Beide Seiten sind gleich 22. ✓
Die neue Bewegung ist einfach: subtrahiere den kleineren x-Term von beiden Seiten, um alle x auf einer Seite zu sammeln. Dann löse es wie vorher.
Englisch in Algebra übersetzen
Von Worten zu Gleichungen
Das Schwierigste in der Algebra ist nicht die Lösung von Gleichungen: Es ist die Einstellung. Realprobleme kommen in Wörtern, nicht in Symbolen.
Übersetzungsleitfaden:
- eine Zahl → x
- verdoppelt oder zweimal → 2x
- plus, mehr als, vermehrt um → +
- minus, weniger als, verminder um → -
- ist, gleich, ergibt → =
Beispiel
"Eine Zahl verdoppelt plus drei ist gleich fünfzehn."
Übersetzung: 2x + 3 = 15
Lösung: 2x = 12, daher x = 6.
Das Geheimnis besteht darin, langsam zu lesen, Stück für Stück zu übersetzen und die Gleichung vor dem Versuch, sie zu lösen, zu schreiben.
Equations Draw Lines
Jede lineare Gleichung ist eine Linie
Sie haben Gleichungen gelöst: Sie haben gefunden, wo x auf einer Zahlengeraden landet. Aber es gibt ein größeres Bild.
Wenn Sie eine Gleichung mit zwei Variablen haben, wie y = 2x + 3, ist jede Lösung ein Punkt auf einer Graphik. Und all die Punkte bilden eine gerade Linie.
Die Steigungsniveauform: y = mx + b
- m ist die Steigung: wie steil die Linie ist. Sie sagt Ihnen, wie viel y sich ändert, wenn x um 1 erhöht wird.
- b ist der y-Achsenabschnitt: wo sich die Linie mit der y-Achse kreuzt. Es ist der Wert von y, wenn x = 0.
Zurück zum Telefonvertrag
Ihr Telefonvertrag lautete: Kosten = 0,05 × (Anzahl der Textnachrichten) + 20
Oder in Steigungsniveauform: y = 0,05x + 20
- Die Steigung ist 0,05: Jede zusätzliche Textnachricht kostet 5 Cent.
- Der y-Achsenabschnitt ist 20: Auch ohne Textnachrichten zahlen Sie 20 Euro.
Wenn Sie diese Gleichung graphisch darstellten, würden Sie eine Linie sehen, die bei 20 Euro am y-Achsenabschnitt beginnt und sich um 5 Cent für jede Textnachricht erhöht.