Tre medelvärden, tre berättelser

Ordet "genomsnitt" döljer ett val

Tre olika mått kallas alla för genomsnitt. De är oftast olika, och skillnaden mellan dem är information.

- Medelvärde: addera alla värden, dividera med antalet. Känsligt för varje tal, så ett enda extremt värde drar det.

- Median: sortera värdena, ta det mittersta. Halva datan ligger ovanför, halva under. En outlier påverkar den knappt.

- Modus: det värde som förekommer oftast. Användbart för kategorier och för att hitta det typiska fallet i en klumpig fördelning.

När respektive mått vilseleder

Tänk sju hushåll med inkomster, i tusental: 30, 32, 35, 38, 40, 42 och ett på 250.

Medelvärdet är cirka 67k, men sex av sju hushåll tjänar mindre än så. Det ensamma värdet på 250k drog medelvärdet upp över nästan alla. Medianen är 38k, det sanna mittpunkten, och den beskriver ett typiskt hushåll mycket bättre.

Detta är den klassiska inkomstfällan. Rapportera medelvärdet och en skev grupp ser rikare ut än den är. Rapportera medianen och du ser mittpunkten.

Regeln: vid skev data eller data med outliers (extrema värden) berättar medianen den ärliga historien. Vid ungefär symmetrisk data utan extrema värden stämmer medelvärdet och medianen nästan överens och båda fungerar.

Välj det ärliga måttet

Din tur

En stad rapporterar att det "genomsnittliga" bostadspriset är 900k. Du får veta att de flesta bostäder såldes för mellan 250k och 400k, men att tre villor såldes för över 6 miljoner vardera.

Beräkna det själv

En liten datamängd

Sju anställda på ett startupföretag tjänar dessa årliga löner, i tusental:

40, 42, 45, 48, 50, 55 och grundaren på 400.

Beräkna båda måtten för centralvärde och bestäm sedan vilket som en arbetssökande bör lita på när hen ska bilda sig en uppfattning om en typisk lön här.

Samma medelvärde, olika världar

Ett medelvärde döljer spridningen

Två datamängder kan ha ett identiskt medelvärde och ändå beskriva helt olika verkligheter. Medelvärdet säger ingenting om hur långt värdena sprids.

Klass A:s provpoäng: 78, 80, 82, 80, 80. Medelvärdet är 80, och alla poäng ligger tätt samlade.

Klass B:s provpoäng: 40, 100, 60, 100, 100. Medelvärdet är 80, men poängerna varierar kraftigt från strax över godkänd till fulla poäng.

Samma medelvärde, 80. Den ena klassen är enhetlig, medan den andra är uppdelad i svaga och starka elever. En rapport som säger att båda klasserna "i genomsnitt fick 80" raderar bort den skillnaden.

Spridningen, mät med spannet eller standardavvikelsen, visar hur mycket värdena varierar kring mitten. Medelvärden utan spridning är bara halva satsen. Fråga alltid hur brett datat sprids.

Urvalet är argumentet

Små stickprov är brusiga; skeva stickprov är felaktiga

En statistik beskriver de som mättes. Om stickprovet är litet eller icke-representativt, säger siffran lite om den bredare världen, oavsett hur exakt den ser ut.

- Stickprovsstorlek: Små stickprov svänger kraftigt av slump. Kastar man en rätt mynt 4 gånger är 100 % krona vanligt; kastar man det 4 000 gånger stabiliserar det sig kring 50 %. En "40 % förbättring" från 10 personer är mestadels brus.

- Repräsentativitet: En omröstning av ett enda bostadsområde, en åldersgrupp eller användare av en enda webbplats kan inte tala för alla. Stickprovet måste spegla den population du vill beskriva.

- Urvalsskevheter: Hur du samlar in stickprovet snur det. En online-undersökning når endast de som såg den och valde att svara.

- Överlevandeskevhet: Du mäter bara överlevarna. Under andra världskriget studerade ingenjörer hemvända flygplan för att bestämma var man skulle lägga till pansar och markerade kugghålen. Abraham Wald pekade på att pansaret tillhörde där hemvända flygplan hade INGA hål, eftersom flygplan som träffades där aldrig kom tillbaka för att räknas.

De saknade data, de personer eller fall som fallit bort, betyder ofta mer än de data du har.

Ett diagram är ett argument i bläck

Fyra sätt ett ärligt tal får ett oärligt diagram

Korrekt data kan ritas så att den vilseleder. Lär dig de fyra vanligaste visuella trickena.

- Avhuggen axel: en vertikal axel som börjar ovanför noll istället för vid noll. En förändring från 50 till 52 fyller hela diagrammet och ser enorm ut, trots att det är en förändring på 4 %.

- Dubbla axlar: två linjer på två olika vertikala skalor, justerade tills de verkar följa varandra. Korrelationen är tillverkad genom valet av skalor, inte hittad i datan.

- Utväljt tidsperiod: att välja endast den tidsperiod som stödjer påståendet. Börja ett temperatur- eller prisdiagram vid en bekväm topp eller dal och trenden vänder.

- Förvrängning av yta mot längd: att skala en ikons bredd OCH höjd för att visa ett dubbelt värde gör att dess YTA blir fyra gånger större. Ögat läser ytan, så en 2-gångs siffra ser ut som 4 gånger.

Varje ett av dessa använder korrekta siffror. Bedrägeriet ligger i ritningen, inte i datan.

Den tredje variabeln

Två saker rör sig tillsammans. Och då?

När två mätningar stiger och sjunker tillsammans är de korrelerade. Korrelation är verklig och användbar, men den bevisar inte att den ena ORSAKAR den andra. Tre oskyldiga förklaringar tävlar alltid med orsakssamband:

- Omvänd orsakssamband: B kan orsaka A, istället för att A orsakar B.

- Sammanträffande: med tillräckligt många variabler kommer vissa att följa varandra av ren slump.

- En konfund: en dold tredje variabel driver båda.

Klassiskt exempel: isförsäljningen korrelerar med drunkningsdödsfall. Is dödar ingen. Konfunden är sommarhettan, som ökar både isförsäljningen och antalet personer som simmar.

Innan du tror på ett orsakssamband, leta efter konfunden. Fråga dig vad för tredje sak som kan röra båda siffrorna samtidigt.

Skeptikerns kontrolllista

En sista tanke

Du har nu en kontrolllista för varje statistik som passerar din väg:

1. Mätning: Vilket medelvärde är detta, och gör skew eller ett outlier att det ljuger?

2. Spridning: Döljer medelvärdet vild variation?

3. Urval: Vem räknades, hur många, och vem saknas?

4. Diagram: Var börjar axeln, och är intervallet utvalt med hänsyn till resultatet?

5. Påstående: Säljs denna korrelation som kausalitet, och vilken konfundens kan förklara den?

Exakta siffror kan fortfarande vilseleda. Siffran är aldrig hela argumentet. Valen bakom det är det.